sin(arctan x) 和 cos(arctan x) 怎么算?一张图让你秒懂! |
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一、前言 你是否被下面两个式子的困惑过: $$\sin (\arctan x) = ?$$ $$\cos (\arctan x) = ?$$ 在荒原之梦网之前的文章中,曾就这类问题做过详细的推理演算(详情请点击这里),现在,只需要看懂一张图,马上就明白了! 二、解析首先,有下面这张图: ![]() 其中,$AB$ 边长为 $1$, $BC$ 边长为 $x$, $\angle ABC = 90^{\circ}$. 于是,根据勾股定理可知,$AC = \sqrt{1+x^2}$ 进而,若令 $\arctan x = \theta = \angle BAC$, 则: $$\textcolor{orangered}{\sin (\arctan x) = \frac{x}{\sqrt{1+x^{2}}}}$$ $$\textcolor{springgreen}{\cos (\arctan x) = \frac{1}{\sqrt{1+x^{2}}}}$$
当然,如果是求解 $\sin [\arctan (\frac{x}{2})]$ 和 $\cos [\arctan (\frac{x}{2})]$ 的值,只需要把上面图 01 中的所有 $x$ 都替换为 $\frac{x}{2}$ 即可,于是: $$\textcolor{orangered}{\sin [\arctan (\frac{x}{2})] = \frac{\frac{x}{2}}{\sqrt{1+(\frac{x}{2})^{2}}} = \frac{x}{\sqrt{4+x^{2}}}}$$ $$\textcolor{springgreen}{\cos [\arctan (\frac{x}{2})] = \frac{1}{\sqrt{1+(\frac{x}{2})^{2}}} = \frac{2}{\sqrt{4+x^{2}}}}$$
当然,$\sin [\textcolor{springgreen}{ 2 } \arctan x]$ 和 $\cos [\textcolor{springgreen}{ 2 } \arctan x]$ 的值也可以根据图 01 所示的直角三角形求出来: 根据二倍角公式可知: $$\sin [2 \arctan x]=2 \sin [\arctan x] \cos [\arctan x]$$ $$\cos [2 \arctan x]=2[\csc (\arctan x)]^{2}-1$$ 又: $$\sin \arctan x=\frac{x}{\sqrt{1+x^{2}}}$$ $$\cos \arctan x=\frac{1}{\sqrt{1+x^{2}}}$$ 于是: $$\textcolor{orangered}{\sin [2 \arctan x]=\frac{2 x}{1+x^{2}}}$$ $$\textcolor{springgreen}{\cos [2 \arctan x]=\frac{2-\left(1+x^{2}\right)}{1+x^{2}}=\frac{1-x^{2}}{1+x^{2}}}$$ 当然也可以得到: $$\tan [2 \arctan x]=\frac{2 x}{1+x^{2}} \cdot \frac{1+x^{2}}{1-x^{2}}$$ $$\tan [2 \arctan x]=\frac{2 x}{1-x^{2}}$$ Tips: 如上,若令 $t = \tan \frac{x}{2}$, 就会产生 $x = 2\arctan t$. 这样做三角代换的好处之一就是不会引入根号——$\sin [2 \arctan x]$、$\cos [2 \arctan x]$ 以及 $\tan [2 \arctan x]$ 转变之后,都是没有根号的。 涵盖高等数学基础概念、解题技巧等内容,图文并茂,计算过程清晰严谨。 线性代数以独特的视角解析线性代数,让繁复的知识变得直观明了。 特别专题通过专题的形式对数学知识结构做必要的补充,使所学知识更加连贯坚实。 让考场上没有难做的数学题! 相关文章: 典型例题汇总:不定积分(凑微分、分部积分、一般有理式积分,三角函数有理式积分等) 典型例题汇总:定积分(奇偶性、几何意义、三角代换、区间再现) 1989 年考研数二真题解析 1992 年考研数二真题解析 高等数学定积分补充例题(三角代换、扩展的点火公式、区间再现、分部积分、sin 不够用 cos 来凑) 什么情况下牛顿-莱布尼兹公式(定积分)不起作用? 考研数学不定积分补充例题 1990 年考研数二真题解析 巧用三角函数凑微分,化不同为相同:$\int$ $\frac{\cos 2x}{\cos^{2} x (1+\sin^{2} x)}$ $\mathrm{d} x$ 1991 年考研数二真题解析 1993 年考研数二真题解析:一定要会用微分的方法计算旋转体的体积而不只是套公式 三角函数积分思路:sin 与 cos 都可以统一到 tan 在一阶微分方程中,哪个变量更“简单”就把哪个变量看做因变量处理 1987 年考研数二真题解析 “平方”套“平方”——这类积分你会算吗? 当二重积分的积分区域不是圆形但被积函数和圆形有关时,也可以尝试使用极坐标系求解 计算嵌套三角函数之:$\sin$ 与 $\arctan$ 三角函数 $\sin$ 与 $\cos$ 有理式积分的一般解题思路 加加减减,凑凑拆拆:$\int$ $\frac{\sin x}{\sin x + \cos x}$ $\mathrm{d} x$ 2018年考研数二第15题解析:分部积分法、求导 计算平面曲线的弧长需要知道积分上下限,但如果这个积分上线限题目中没有给出该怎么办? 2014年考研数二第17题解析:二重积分、极坐标系 当二重积分的积分区域是圆形时一般考虑用极坐标:当这个圆形区域的位置并不标准时,可以考虑平移代换 集火攻击:多种方法解一道题 遇到三角函数有理式,就用三角函数凑微分:$\int$ $\frac{\sin 2x \sin^{2} x}{2 + \cos^{4} x}$ $\mathrm{d} x$ |
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