PS:没有展开到n阶是因为考试往往只会展开到如下阶数，竞赛除外

s i n x = x − x 3 6 + o ( x 3 ) 、 a r c s i n x = x + x 3 6 + o ( x 3 ) sinx =x-\frac{x^3}{6}+o(x^3) 、arcsinx = x+\frac{x^3}{6}+o(x^3) sinx=x−6x3​+o(x3)、arcsinx=x+6x3​+o(x3) t a n x = x + x 3 3 + o ( x 3 ) 、 a r c s i n x = x − x 3 3 + o ( x 3 ) tanx=x+\frac{x^3}{3}+o(x^3) 、arcsinx = x-\frac{x^3}{3}+o(x^3) tanx=x+3x3​+o(x3)、arcsinx=x−3x3​+o(x3) c o s x = 1 − x 2 2 ! + x 4 4 ! + o ( x 4 ) cosx=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}+o(x^4) cosx=1−2!x2​+4!x4​+o(x4) e x = 1 + x + x 2 2 ! + x 3 3 ! + o ( x 3 ) e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+o(x^3) ex=1+x+2!x2​+3!x3​+o(x3) l n ( 1 + x ) = x − x 2 2 + x 3 3 + o ( x 3 ) ln(1+x) = x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}+o(x^3) ln(1+x)=x−2x2​+3x3​+o(x3) ( 1 + x ) α = 1 + α x + α ( α − 1 ) 2 x 2 + o ( x 2 ) (1+x)^\alpha=1+\alpha x+\frac{\alpha (\alpha-1)}{2}x^2+o(x^2) (1+x)α=1+αx+2α(α−1)​x2+o(x2)

1 1 − x = 1 + x + x 2 + x 3 + x 4 + o ( x 4 ) \frac{1}{1-x}=1+x+x^2+x^3+x^4+o(x^4) 1−x1​=1+x+x2+x3+x4+o(x4) 1 1 + x = 1 − x + x 2 − x 3 + x 4 + o ( x 4 ) \frac{1}{1+x}=1-x+x^2-x^3+x^4+o(x^4) 1+x1​=1−x+x2−x3+x4+o(x4)

最基础9个等价无穷小

三角函数（5个）： s i n x sinx sinx ~ x x x 、 t a n x tanx tanx ~ x x x、 a r c s i n x arcsinx arcsinx ~ x x x 、 a r c t a n x arctanx arctanx ~ x x x、 1 − c o s x 1-cosx 1−cosx ~ 1 2 x 2 \frac{1}{2}x^2 21​x2 指数、对数（3个）： e x − 1 e^x-1 ex−1 ~ x x x 、 l n ( 1 + x ) ln(1+x) ln(1+x) ~ x x x 、 a x − 1 a^x-1 ax−1 ~ x l n a xlna xlna 幂函数（1个）： ( 1 + x ) a − 1 (1+x)^a-1 (1+x)a−1 ~ a x ax ax

需要熟练掌握的 本质是用泰勒展开与x进行相减,或者由洛必达和定义推导而来，记住，可加快做题速度和正确率 l n ( x + 1 + x 2 ) ln(x+\sqrt{1+x^2}) ln(x+1+x2 ​)~ x x x x − s i n x x-sinx x−sinx ~ 1 6 x 3 \frac{1}{6}x^3 61​x3、 x − a r c s i n x x-arcsinx x−arcsinx ~ − 1 6 x 3 -\frac{1}{6}x^3 −61​x3 x − t a n x x-tanx x−tanx ~ − 1 3 x 3 -\frac{1}{3}x^3 −31​x3、 x − a r c t a n x x-arctanx x−arctanx ~ 1 3 x 3 \frac{1}{3}x^3 31​x3

若 β \beta β是 α \alpha α的高阶无穷小，即 lim ⁡ β α = 0 , \lim\frac{\beta}{\alpha}=0, limαβ​=0,则 α ± β \alpha±\beta α±β~ α \alpha α 这说明高价无穷小在加减中可略去。 如 ， 由 于 lim ⁡ x → 0 x 3 x 2 = 0 , 于 是 x 2 − x 3 ～ x 2 如，由于\lim_{x\to0}\frac{x^3}{x^2}=0,于是x^2-x^3～x^2 如，由于x→0lim​x2x3​=0,于是x2−x3～x2