图一： 已知AB两点坐标为A（x1,y1），B(x2,y2)。 过A做一直线与X轴平行，过B做一直线与Y轴平行，两直线交点为C。 则AC垂直于BC（因为X轴垂直于Y轴） 则三角形ACB为直角三角形 由勾股定理得 A B 2 = A C 2 + B C 2 AB^2=AC^2+BC^2 AB2=AC2+BC2 即 A B = A C 2 + B C 2 AB=\sqrt{AC^2+BC^2} AB=AC2+BC2 ​

一般式 A x + B y + C = 0 Ax+By+C=0 Ax+By+C=0 点斜式 ( y 1 − y 2 ) ( x 1 − x 2 ) = k \frac{(y1-y2)}{(x1-x2)}=k (x1−x2)(y1−y2)​=k

过P(x0,y0)作直线L的垂线Li，垂足为D(x,y)，p(x0,y0)到D(x,y)的距离为d

由一般式直线方程可知，直线L的斜率为：- k = − A B k=-\frac{A}{B} k=−BA​

由于两线垂直斜率乘积为-1，所以垂线Li的斜率为： k i = B A ki=\frac{B}{A} ki=AB​

y 0 − y x 0 − x = B A \frac{y0-y}{x0-x}=\frac{B}{A} x0−xy0−y​=AB​

即得到直线方程二： B x − A y + A y 0 − B x 0 = 0 Bx-Ay+Ay0-Bx0=0 Bx−Ay+Ay0−Bx0=0

通过一般式可知： x = − ( c + B y ) A x=\frac{-(c+By)}{A} x=A−(c+By)​

y = − ( c + A x ) B y=\frac{-(c+Ax)}{B} y=B−(c+Ax)​

B x + A C + A 2 ∗ x B + A y 0 − B x 0 = 0 Bx+\frac{AC+A^2*x}{B}+Ay0-Bx0=0 Bx+BAC+A2∗x​+Ay0−Bx0=0

x = B 2 ∗ x 0 − A B y 0 − A C B 2 + A 2 x=\frac{B^2*x0-ABy0-AC}{B^2+A^2} x=B2+A2B2∗x0−ABy0−AC​

y = A 2 ∗ y 0 − A B x 0 − B C B 2 + A 2 y=\frac{A^2*y0-ABx0-BC}{B^2+A^2} y=B2+A2A2∗y0−ABx0−BC​

x − x 0 = − A ( A x 0 + B y 0 + C ) B 2 + A 2 x-x0=\frac{-A(Ax0+By0+C)}{B^2+A^2} x−x0=B2+A2−A(Ax0+By0+C)​

y − y 0 = − B ( A x 0 + B y 0 + C ) B 2 + A 2 y-y0=\frac{-B(Ax0+By0+C)}{B^2+A^2} y−y0=B2+A2−B(Ax0+By0+C)​

d 2 = ( x − x 0 ) 2 + ( y − y 0 ) 2 d^2=(x-x0)^2+(y-y0)^2 d2=(x−x0)2+(y−y0)2

所以代入x-x0，y-y0得到： d 2 = ( − A ( A x 0 + B y 0 + C ) ( B 2 + A 2 ) ) 2 + ( − B ( A x 0 + B y 0 + C ) ( B 2 + A 2 ) ) 2 d^2=\frac{(-A(Ax0+By0+C)}{(B^2+A^2))^2}+\frac{(-B(Ax0+By0+C)}{(B^2+A^2))^2} d2=(B2+A2))2(−A(Ax0+By0+C)​+(B2+A2))2(−B(Ax0+By0+C)​

d 2 = A 2 ( A x 0 + B y 0 + C ) 2 ( B 2 + A 2 ) 2 + B 2 ( A x 0 + B y 0 + C ) 2 ( B 2 + A 2 ) 2 d^2=\frac{A^2(Ax0+By0+C)^2}{(B^2+A^2)^2}+\frac{B^2(Ax0+By0+C)^2}{(B^2+A^2)^2} d2=(B2+A2)2A2(Ax0+By0+C)2​+(B2+A2)2B2(Ax0+By0+C)2​

d 2 = ( A 2 + + B 2 ) ( A x 0 + B y 0 + C ) 2 ( B 2 + A 2 ) 2 d^2=\frac{(A^2++B^2)(Ax0+By0+C)^2}{(B^2+A^2)^2} d2=(B2+A2)2(A2++B2)(Ax0+By0+C)2​

d 2 = ( A x 0 + B y 0 + C ) 2 ( B 2 + A 2 ) d^2=\frac{(Ax0+By0+C)^2}{(B^2+A^2)} d2=(B2+A2)(Ax0+By0+C)2​

d = ∣ A x 0 + B y 0 + C ∣ A 2 + B 2 d=\frac{|Ax0+By0+C|}{\sqrt{A^2+B^2}} d=A2+B2 ​∣Ax0+By0+C∣​