平均值不等式的二十种证明思路和三十多种证明方法，你能看懂多少？

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平均值不等式的二十种证明思路和三十多种证明方法，你能看懂多少？

2024-06-30 16:34:23| 来源: 网络整理| 查看: 265

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平均值不等式，是数学中一个十分基本的不等式，其证明也一直被人所研究，不断有人从不同的角度开创出新的证明方法，从而促进了数学的发展。匡继昌著作《常用不等式》中收录了几十种平均值不等式的证明方法，可谓五花八门。

下面将这些证明方法的大概思路和要点列了出来。敢问诸位高手，能想通多少种证明方法？

开始之前先介绍一下背景知识。所谓平均值不等式，是说：设 $a_1%2Ca_2%2C...%2Ca_n$ 是一组非负实数，则有

$%5CLARGE%5Cbegin%7Balign%7D%5Cfrac%7Ba_1%2Ba_2%2B...%2Ba_n%7D%7Bn%7D%5Cgeq%5Csqrt%5Bn%5D%7Ba_1a_2...a_n%7D%5Ctag%7B1%7D%5Cend%7Balign%7D$

其中，不等号左边被称为 $a_1%2Ca_2%2C...%2Ca_n$ 的算术平均数，记作 $A_n$ ；不等号右边被称为 $a_1%2Ca_2%2C...%2Ca_n$ 的几何平均数，记作 $G_n$ .

如果 $n%3D2$ ，该不等式就会变成我们熟知的基本不等式：

$%5CLARGE%5Cbegin%7Balign%7D%5Cfrac%7Ba%2Bb%7D2%5Cgeq%5Csqrt%7Bab%7D%5Ctag%7B2%7D%5Cend%7Balign%7D$

$(2)$ 的证明是很简单的，两边平方后，整理得 $(a-b)%5E2%5Cgeq0$ ，这是显然的，即证。我们的问题是：如何证明 $(1)$ 式？

顺带一提，这个不等式可以进行各种各样的推广和拓展，比如加权，比如推广到无穷多项，比如积分形式，比如把它们拿去跟各种各样的平均数进行比较。这些我们都先不讨论，我们现在只讨论平均值不等式的证明。

本文默认大家有一定的微积分基础——当然，就算不懂微积分也没有关系，部分思路只需要初等数学水平的知识。对于一些大家可能不是那么熟悉的概念和结论，我会加以说明。顺带一提，以下讨论中，我们的思路并不是越往后越难、越晦涩，因此，请大家尽量看到最后。此外，思路八、十一、十二、十三、十七涉及平均值不等式的推广，值得好好研究！

先约定一下符号：有时也会把 $A_n%2CG_n$ 写成 $A_n(a)%2CG_n(a)$ 。记 $%5Cdisplaystyle%20b_k%3D%5Cfrac%7Ba_k%7D%7BG_n%7D%2C%20c_k%3D%5Cfrac%7Ba_k%7D%7BA_n%7D$ 。

思路一：数学归纳法

其中涉及众多技巧，因此证明方法也有十几种。

约定一下记号：默认情况下我们是从n推n+1 ，对于那些从n−1推n的，在前面标上“(-1)”。

由于这些方法来源都有所不同，记号还可能有一个混乱之处，请大家自行辨别： $b_k$ 到底是等于 $a_k$ 除以 $G_n$ ，还是除以 $G_%7Bn-1%7D$ ，还是除以 $G_%7Bn%2B1%7D$ ？

利用反向归纳法。

利用归纳假设，证明： $n%5Cdisplaystyle%5Cleq%5Cfrac%20%7Ba_1a_%7Bn%2B1%7D%7D%7BG%5E2_%7Bn%2B1%7D%7D%2Bb_2%2B...%2Bb_n$ ，进而证明 $G_%7Bn%2B1%7D%5Cleq%20A_%7Bn%2B1%7D$ 。

若 $b_1%5Cgeq%201%2C%20b_2%5Cleq%201$ ，则 $b_1b_2%2B1%5Cleq%20b_1%2Bb_2$ ，考虑 $b_1%2Bb_2%2B...%2Bb_%7Bn%2B1%7D$ 。

利用Young不等式，得到 $%5Cdisplaystyle%20a_%7Bn%2B1%7D%5E%7B1%2Fn%7D%5Ccdot%20A_%7Bn%2B1%7D%5E%7B1-%5Cfrac1n%7D%5Cleq%5Cfrac1na_%7Bn%2B1%7D%2B(1-%5Cfrac1n)A_%7Bn%2B1%7D$ 。

令 $x%5E%7Bn(n%2B1)%7D%3D%5Cdisplaystyle%5Cfrac%7Ba_1a_2...a_%7Bn%2B1%7D%7D%7Ba_%7Bn%2B1%7D%5E%7Bn%2B1%7D%7D$ ，证明 $nx%5E%7Bn%2B1%7D%2B1%5Cgeq(n%2B1)x%5En$ 。证明方法是我们非常熟悉的求导法。就算不熟悉求导法，也可以用因式分解的方法直接证出来。

不妨设 $0%3Ca_1%5Cleq...%5Cleq%20a_n$ 。若 $a_1%3Ca_%7Bn%2B1%7D$ ，证明 $(a_1-A_%7Bn%2B1%7D)(A_%7Bn%2B1%7D-a_%7Bn%2B1%7D)%3E0$ ，再利用归纳假设，证明 $A_%7Bn%2B1%7D%5E%7Bn%7D%5Cgeq%20a_2a_3...a_%7Bn%7D(a_1%2Ba_%7Bn%2B1%7D-A_%7Bn%2B1%7D)$ ，最后从这两个式子导出 $A_%7Bn%2B1%7D%5Cgeq%20G_%7Bn%2B1%7D$ .

令 $%5Cdisplaystyle%20f(x)%3D%5Cfrac%7Ba_1%2B...%2Ba_n%2Bx%7D%7Bn%2B1%7D-(a_1...a_nx)%5E%7B%5Cfrac1%7Bn%2B1%7D%7D$ ，研究它的性质。

利用 $A_%7Bn%2B1%7D%5Cdisplaystyle%3D%5Cfrac12%5B%5Cfrac%7Ba_1%2B...%2Ba_n%7D%7Bn%7D%2B%5Cfrac%7Ba_%7Bn%2B1%7D%2BA_%7Bn%2B1%7D%2B...%2BA_%7Bn%2B1%7D%7D%7Bn%7D%5D$ ，并多次使用二元的均值不等式和数学归纳法。

(-1)《常用不等式》作者匡继昌于2019年利用归纳法和二项式定理导出了一个初等不等式：

$%5Cbegin%7Balign%7D%5Cleft(1%2B%5Cfrac%7Bx-1%7Dn%5Cright)%5En%5Cgeq%20x%5B1%2B%5Cfrac%7B(n-1)(x-1)%5E2%7D%7B2nx%7D%5D%5Cend%7Balign%7D$

在其中，令 $x%5Cdisplaystyle%3D%5Cfrac%7Ba_n%7D%7BG_%7Bn-1%7D%7D$ 。（此法较难，不易想出，具体证明可以参考匡先生的文章）

(-1)利用初等不等式

$x%5En%5Cgeq%20nx-(n-1)%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20(x%5Cgeq0%2Cn%5Cgeq%201)$

令 $x%3D%5Cdisplaystyle%5Cfrac%7BG_n%7D%7BG_%7Bn-1%7D%7D$ ，并注意到 $A_n%5Cdisplaystyle%3D%5Cfrac%7BG_%7Bn-1%7D%7Dn%5B(n-1)%5Cfrac%7BA_%7Bn-1%7D%7D%7BG_%7Bn-1%7D%7D%2B%5Cleft(%5Cfrac%7BG_n%7D%7BG_%7Bn-1%7D%7D%5Cright)%5En%5D$ 。

令 $f(x)%3D%5Cdisplaystyle%5Cleft(%5Cfrac%7Ba_1%2B...%2Ba_n%2Bx%7D%7Bn%2B1%7D%5Cright)%5E%7Bn%2B1%7D%5Ccdot%5Cfrac1x$ ，考虑其最小值。

考虑证明

$%5Cdisplaystyle%20b_1%2B...%2Bb_%7Bn%2B1%7D%5Cgeq%20n%5B(b_1b_2...b_%7Bn%2B1%7D)%5Ccdot%5Cfrac1%7Bb_%7Bn%2B1%7D%7D%5D%5E%7B%5Cfrac1n%7D%2Bb_%7Bn%2B1%7D%5Cgeq%20n%2B1$

其中第二个不等号要用到伯努利不等式：

$%5Cbegin%7Balign%7D(1%2Bx)%5E%5Calpha%5Cgeq%201%2B%5Calpha%20x%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20(%5Calpha%3C0%2Cx%5Cgeq-1)%5Cend%7Balign%7D$

思路二：多项式展开

注意到 $%5Cdisplaystyle%5Cleft(%5Csum_%7Bk%3D1%7D%5En%20a_k%5Cright)%5E%7Bmn%7D%5Cgeq%5Cfrac%7B(mn)!%7D%7B(m!)%5En%7D%5Cleft(%5Cprod_%7Bk%3D1%7D%5Ena_k%5Cright)%5Em$

以及 $k(k%2Bn)...(k%2B(m-1)n)%3E1%5Ccdot%20n%5Ccdot...%5Ccdot(m-1)n%3D(m-1)!n%5E%7Bm-1%7D$

其中 $k%3D1%2C2%2C...%2Cn$

同时 $%5Cdisplaystyle%5Clim_%7Bm%5Crightarrow%5Cinfty%7D(mn)%5E%7B%5Cfrac%20nm%7D%3D1$

尝试由此证明 $%5Cdisplaystyle%5Cleft(%5Csum_%7Bk%3D1%7D%5En%20a_k%5Cright)%5E%7Bn%7D%5Cgeq%20n%5En%5Cleft(%5Cprod_%7Bk%3D1%7D%5Ena_k%5Cright)$

思路三：利用积分形式的Hölder不等式

首先介绍一下积分形式的Hölder不等式：设 $%5Cdisplaystyle%5Cfrac1p%2B%5Cfrac1q%3D1$ 。若 $f$ 是定义在 $E$ 上的函数，定义

$%5Cdisplaystyle%7C%7Cf%7C%7C_p%3D%5Cleft(%5Cint_E%7Cf(x)%7C%5Ep%5Cmathrm%20dx%5Cright)%5E%7B%5Cfrac1p%7D$

则有 $%7C%7Cfg%7C%7C_1%5Cleq%7C%7Cf%7C%7C_p%7C%7Cg%7C%7C_q$ ，这就是积分形式的Hölder不等式。

回到平均值不等式的证明思路。利用 $%5Cdisplaystyle%5Cfrac1%7Ba_k%7D%3D%5Cint_0%5E%5Cinfty%5Cmathrm%20e%5E%7B-a_kt%7D%5Cmathrm%20dt$ ，可尝试证明 $%5Cdisplaystyle%5Cfrac1%7Ba_1%2B...%2Ba_n%7D%5Cleq%5Cfrac1n%5Cfrac1%7BG_n%7D$ 。

思路四：利用拉格朗日乘数法

用拉格朗日乘数法，求关于 $a_1%2C...%2Ca_n$ 的函数 $G_n$ 在 $a_1%2B...%2Ba_n%3DnA_n$ 这一约束条件下的最大值。

思路五：动态规划的函数方程法

具体证明参见[1]。其思路是假设这些数的算术平均数 $A_n$ 取定，求出几何平均数的最大值——这是 $A_n$ 的函数——关于n的状态转移方程，然后得到它的表达式。信息竞赛生应该会比较熟悉这种思想。

思路六：利用S凸函数的性质

首先介绍一个概念。设 $x%3D(x_1%2Cx_2%2C...%2Cx_n)%2Cy%3D(y_1%2Cy_2%2C...%2Cy_n)$ 。将 $x_1%2C...%2Cx_n$ 按降序重新排序成 $%5Cbar%20x_1%2C...%2C%5Cbar%20x_n$ 。对于y也这么做。若 $%5Cbar%20x_1%2B...%2B%5Cbar%20x_k%5Cleq%20%5Cbar%20y_1%2B...%2B%5Cbar%20y_k(k%3D1%2C...%2Cn-1)$ ；但 $x_1%2B...%2Bx_n%3Dy_1%2B...%2By_n$ ，则称x被y所优超，记作 $x%5Cprec%20y$ 。

有了这个概念之后，就可以引出S凸函数的定义和性质了：

摘自[2]

可以验证 $f(a)%3DA_n(a)-G_n(a)$ 满足上面的两个条件，从而是S凸函数。根据S凸函数的定义，容易证明 $f(a)$ 恒非负——好吧，其实不是很容易。

思路七~十：利用一些简单的不等式

利用 $%5Cmathrm%20e%5Ex%5Cgeq1%2Bx$ 。令 $x%5Cdisplaystyle%3D%5Cfrac%7Ba_k%7D%7BA_n%7D-1%3Dc_k-1$ ，两边作积。

利用 $x%3E%5Cmathrm%20e%5Cln%20x$ ，可以证明加权形式的平均值不等式：

若正实数 $q_1%2C...%2Cq_n$ 满足 $q_1%2B..%2Bq_n%3D1$ ，定义加权的算术平均数和几何平均数

$%5CLarge%5Cbegin%7Balign%7DA_n(a%2Cq)%26%3Dq_1a_1%2B...%2Bq_na_n%5Ctag%7B3%7D%5C%5CG_n(a%2Cq)%26%3Da_1%5E%7Bq_1%7D%5Ccdot...%5Ccdot%20a_n%5E%7Bq_n%7D%5Ctag%7B4%7D%5Cend%7Balign%7D$ 则 $A_n(a%2Cq)%5Cgeq%20G_n(a%2Cq)$ 。

很显然，这是普通的平均值不等式的推广。证明方法是在 $x%3E%5Cmathrm%20e%5Cln%20x$ 中令 $x%3Da_k$ ，两边乘 $q_k$ 后求和。

利用 $%5Cln%20x%5Cleq%20x-1(x%3E0)$ 。令 $x%3Dc_k$ ，求和。

利用不等式 $x(n-x%5E%7Bn-1%7D)%5Cleq%20n-1%2Cx%3E0$ ，令 $x%5Cdisplaystyle%3Db_1%5E%5Cfrac1%7Bn-1%7D$ ，观察得到的结果。

本质上跟思路一中的第10种方法类似，但更直观，注意力可以涣散一点。

（B站这逆天的公式排版……）

思路十一：利用函数单调性

试证明：函数

$%5CLARGE%5Cdisplaystyle%20f(x)%3D%5Cleft%5C%7B%5Cbegin%7Balign%7D%26%5Cleft(%5Cfrac1n%5Csum_%7Bk%3D1%7D%5Ena_k%5Ex%5Cright)%5E%5Cfrac1x%26%2Cx%5Cne0%5C%5C%26G_%7Bn%7D%26%2Cx%3D0%5Cend%7Balign%7D%5Cright.%5C%5C$

在 $%5B-%5Cinfty%2C%2B%5Cinfty%5D$ 上严格递增（此时 $a_1%2C...%2Ca_n$ 为不全相等的正数）。实际上，这个结论也是平均值不等式的加强。

思路十二：利用凸函数的Jensen不等式

这是中学数学竞赛和大学数学分析中的经典方法，但同样可以证明加权形式的平均值不等式。对 $(1)$ 式两边取对数，然后证明 y=ln x 是凸函数，直接得到结论。

思路十三：利用积分的性质

这个思路同样也能巧妙地证明加权形式的平均值不等式。不妨设 $0%3Ca_1%5Cleq...%5Cleq%20a_n$ ，若 $a_k%5Cleq%20G_n(a%2Cq)%5Cleq%20a_%7Bk%2B1%7D$ ，证明：

$%5Cdisplaystyle%5CLARGE%5Cbegin%7Balign%7D%26%5Cfrac%7BA_n(a%2Cq)%7D%7BG_n(a%2Cq)%7D-1%5C%5C%3D%26%5Csum_%7Bj%3D1%7D%5Ekq_j%5Cint_%7Ba_j%7D%5E%7BG_n(a%2Cq)%7D%5Cleft(%5Cfrac1t-%5Cfrac1%7BG_n(a%2Cq)%7D%5Cright)%5Cmathrm%20dt%2B%5Csum_%7Bj%3Dk%2B1%7D%5Enq_j%5Cint_%7BG_n(a%2Cq)%7D%5E%7Ba_j%7D%5Cleft(%5Cfrac1%7BG_n(a%2Cq)%7D-%5Cfrac1t%5Cright)%5Cmathrm%20dt%5C%5C%5Cgeq%260%5Cend%7Balign%7D$

思路十四：概率证法

本质上跟思路十二相同，不再列出。

思路十五：利用排序不等式

首先利用排序不等式（倒序和≤乱序和≤正序和）证明 $%5Cdisplaystyle%5Cfrac%7Bx_1%7D%7Bx_2%7D%2B%5Cfrac%7Bx_2%7D%7Bx_3%7D%2B...%2B%5Cfrac%7Bx_%7Bn-1%7D%7D%7Bx_n%7D%2B%5Cfrac%7Bx_n%7D%7Bx_1%7D%5Cgeq%5Cfrac%7Bx_1%7D%7Bx_1%7D%2B%5Cfrac%7Bx_2%7D%7Bx_2%7D%2B...%2B%5Cfrac%7Bx_n%7D%7Bx_n%7D%3Dn$

然后，取 $%5Cdisplaystyle%20b_1%3D%5Cfrac%7Bx_1%7D%7Bx_2%7D%2C...%2Cb_%7Bn-1%7D%3D%5Cfrac%7Bx_%7Bn-1%7D%7D%7Bx_n%7D%2Cb_n%3D%5Cfrac%7Bx_n%7D%7Bx_1%7D$ 。

还是解释一下排序不等式吧。这个不等式在某种程度上诠释了“公平”和“效率”之间的关系，大家可以体会一下这是为什么。

设有两组数 $x_1%5Cleq%20x_2%5Cleq...%5Cleq%20x_m%3By_1%5Cleq%20y_2%5Cleq...%5Cleq%20y_m$ ； $k_1%2Ck_2%2C..%2Ck_m$ 是自然数1到m的任意一个排列。则

$%5CLARGE%5Cbegin%7Balign%7Dx_1y_m%2Bx_2y_%7Bm-1%7D%2B...%2Bx_my_1%5C%5C%5Cleq%20x_%7B1%7Dy_%7Bk_1%7D%2Bx_2y_%7Bk_2%7D%2B...%2Bx_my_%7Bk_m%7D%5C%5C%5Cleq%20x_1y_1%2Bx_2y_2%2B...%2Bx_my_m%5Cend%7Balign%7D%5C%5C$

即“倒序和≤乱序和≤正序和”。

思路十六：利用一个函数不等式

首先证明

$%5CLARGE%5Cdisplaystyle%5Csum_%7Bk%3D1%7D%5En%5Cinf%5C%7Bf_k(x)%3Ax%5Cin%20E%5C%7D%5Cleq%5Cinf%5C%7B%5Csum_%7Bk%3D1%7D%5Enf_k(x)%3Ax%5Cin%20E%5C%7D%5C%5C$

然后令 $f_k(x)%3Da_kx%5E%5Cbeta-%5Clog%20x%2Ca_k%3E0%2C%5Cbeta%3E0%2CE%3D(0%2C%5Cinfty)$ 。

思路十七：一种新的形式

参考[3]。

思路十八~三十二

这一段《常用不等式》中没有列出，只提供了参考文献，现列出出处。

在[4]的6~12页中，提到了几何方法、优化方法、Hurwitz方法、初等对称函数法、恒等式法、泛函方程法、逐步调整法；

在[5]中，第308~309页提到了幂级数法；407页提到了松弛法；449页提到了支撑函数法；515~516页提到了降维法；650~651页提到了矩阵方法；48~49，562~563页提到了利用热力学定律的方法；49~50页提到了反证法；240~241页提到了极值方法。

欢迎在评论区讨论！

本文首发于知乎https://www.zhihu.com/question/422748838/answer/3424762982

参考文献：

[1]https://zhuanlan.zhihu.com/p/685850732

[2]http://staff.ustc.edu.cn/~shmj/Handout/Chapter5-3.pdf

[3]J. Math. Anal. Appl. (Journal of Mathematical Analysis and Applications)1997,(215):577~578

[4]Beckenbach,E. F. ,Bellman,R. , Inequalities,Springer-Verlag

[5]王挽澜，《建立不等式的方法》（哈尔滨工业大学出版社，2011）

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