在很多机器学习算法中，都会遇到最优化问题。因为我们机器学习算法，就是要在模型空间中找到这样一个模型，使得这个模型在一定范围内具有最优的性能表现。因此，机器学习离不开最优化。然而，对于很多问题，我们并不总能够找到这个最优，很多时候我们都是尽力去找到近似最优，这就是解析解和近似解的范畴。

很多最优化问题都是在目标函数是凸函数或者凹函数的基础上进行的。原因很简单，凸函数的局部极小值就是其全局最小值，凹函数的局部极大值就是其全局最大值。因此，只要我们依据一个策略，一步步地逼近这个极值，最终肯定能够到达全局最值附近。

那么，如何判断目标函数凸或者凹呢？

这个方法是我自己起的名字，哈哈，但是方法不是我发明的。。所谓暴力计算法，就是直接对目标函数进行计算，然后判断其是否凸。具体地，就是计算目标函数的一阶导数和二阶导数。然后作出判断。

等号右边是对函数在x点的一阶近似。这个条件的意义是，对于函数在定义域的任意取值，函数的值都大于或者等于对函数在这点的一阶近似。用图来说明就是：

通过图可以很清楚地理解这个充要条件，但是，具体在应用中，我们不可能对每一个点都去计算函数的一阶导数吧，因此下面这个充要条件更加实用。

很简单，如果一个函数的二阶导数大于等于零，那么这个函数就是凸函数。图就不上了，很好理解，函数的一阶导数具有递增性，那么函数本身就是凸函数。

通过暴力计算法，可以很快地判断函数是不是凸函数。凹函数同理。

重要的内容都在后面，哈哈。有时候我们不必通过暴力计算，可以通过分析目标函数的结构，就能在一些情况下判断函数是否是凸函数。下面给出一些结论：

下面出一道题目：如何判断最大似然函数一定有最大值？

思路：最大似然函数是求最大值，那么函数必须是凹函数。就拿我们常用的对数似然函数，是多个对数函数的线性加权而且权值为1，而对数函数是凹函数，然后每个对数内部有没有嵌套其他函数再分析一下，最后就能判断整个对数似然函数是凹函数，因此一定有最大值。

很多机器学习算法都设计最优化问题，判断目标函数是凸是凹是第一步，这只是可以最优化的前提，那么，有哪些最优化的问题呢？

有哪些最优化的手段呢？常见的有：

关于这部分的知识下次详谈，先给出几篇相关的资料：

凸优化和机器学习 关于凸优化的一些简单概念 斯坦福凸优化综述