在数学建模过程中大家经常会使用插值法对数据进行处理，而其中拉格朗日多项式插值法是较为常用到的。 以下是我在学习拉格朗日插值法时通过阅读许多大佬博主的文章时发现，要么只有代码，要么只有理论讲解或者例题，所以我就根据自己的理解总结了这篇笔记。代码附在后面 需求的大家自取即可

插值：求过已知有限个数数据点的近似函数

拟合：已知有限个数据点，求近似函数，不要求过急直数据点，只要求在某种意义下它在这些点上的总偏差最小

插值方法有许多，常用的、基本的有：拉格朗日多项式插值、牛顿插值、分段线插值、Hermite插值和三次样条插值。这里只将一下拉格朗日多项式插值法：

通缩点说，已知n+1个点x1，x2，…，xn的函数值，可以使用lagrange插值求出一个n次多项式插值函数f(x),f(x)是接近未知原函数p(x)的函数，根据插值函数f(x)求出p(x)的未知点

已知一个未知函数f（x）的三个点（x1,y1）、（x2,y2）、（x3,y3）

存在使用一个多项式函数经过这三个点，呈现为一根曲线

因此进行合理假设，此曲线为一个二次多项式

拉格朗日认为可通过三根两次曲线来得到这根二次曲线。

关键

因此假设了三根曲线

第一根曲线f1（x），在x1点处，取值为1，其余两点（x2,y2）、（x3,y3）取值为0

第二根曲线f2（x），在x2点处，取值为1，其余两点（x1,y1）、（x3,y3）取值为0

第三根曲线f3（x），在x3点处，取值为1，其余两点（x1,y1）、（x2,y2）取值为0

所以可得到

y1f1（x）曲线可以保证，在x1处，取值为y1，其余两点取值为0

y2f2（x）曲线可以保证，在x2处，取值为y2，其余两点取值为0

y3f3（x）曲线可以保证，在x3处，取值为y3，其余两点取值为0

可以说这三根曲线就可以组成需要得到的那根二次曲线

那么，f（x）=y1f1（x）+y2f2（x）+y3f3（x）

首先假设的三根曲线fi为二次函数

其次需满足

因此可以得到构造的函数（例如第一根）

​ 零点法

所以 f 1 ( x ) = ( x − x 2 ) ( x − x 3 ) ( x 1 − x 2 ) ( x 1 − x 3 ) {f_1}\left( x \right) = \frac{{\left( {x - {x_2}} \right)\left( {x - {x_3}} \right)}}{{\left( {{x_1} - {x_2}} \right)\left( {{x_1} - {x_3}} \right)}} f1​(x)=(x1​−x2​)(x1​−x3​)(x−x2​)(x−x3​)​ 推广到一般，可得到 f ( x ) = ∑ i = 1 3 y i ⋅ f i ( x ) f\left( x \right) = \sum\limits_{i = 1}^3 {{y_i} \cdot {f_i}\left( x \right)} f(x)=i=1∑3​yi​⋅fi​(x)

f i ( x ) = ( x − x 0 ) ( x − x 1 ) ⋯ ( x − x i − 1 ) ( x − x i + 1 ) ⋯ ( x − x n ) ( x i − x 0 ) ( x i − x 1 ) ⋯ ( x i − x i − 1 ) ( x i − x i + 1 ) ⋯ ( x i − x n ) {f_i}\left( x \right) = \frac{{\left( {x - {x_0}} \right)\left( {x - {x_1}} \right) \cdots \left( {x - {x_{i - 1}}} \right)\left( {x - {x_{i + 1}}} \right) \cdots \left( {x - {x_n}} \right)}}{{\left( {{x_i} - {x_0}} \right)\left( {{x_i} - {x_1}} \right) \cdots \left( {{x_i} - {x_{i - 1}}} \right)\left( {{x_i} - {x_{i + 1}}} \right) \cdots \left( {{x_i} - {x_n}} \right)}} fi​(x)=(xi​−x0​)(xi​−x1​)⋯(xi​−xi−1​)(xi​−xi+1​)⋯(xi​−xn​)(x−x0​)(x−x1​)⋯(x−xi−1​)(x−xi+1​)⋯(x−xn​)​

称为拉格朗日插值基函数 f n ( x ) = ∑ i = 0 n f i ( x ) ⋅ y i {f_n}\left( x \right) = \sum\limits_{i = 0}^n {{f_i}\left( x \right)} \cdot {y_i} fn​(x)=i=0∑n​fi​(x)⋅yi​ 为拉格朗日插值多项式公式

f 1 ( x ) = ( x − x 1 ) ( x 0 − x 1 ) ⋅ y 0 + ( x − x 0 ) ( x 1 − x 0 ) ⋅ y 1 {f_1}\left( x \right) = \frac{{\left( {x - {x_1}} \right)}}{{\left( {{x_0} - {x_1}} \right)}} \cdot {y_0} + \frac{{\left( {x - {x_0}} \right)}}{{\left( {{x_1} - {x_0}} \right)}} \cdot {y_1} f1​(x)=(x0​−x1​)(x−x1​)​⋅y0​+(x1​−x0​)(x−x0​)​⋅y1​

f 2 ( x ) = ( x − x 1 ) ⋅ ( x − x 2 ) ( x 0 − x 1 ) ⋅ ( x 0 − x 2 ) ⋅ y 0 + ( x − x 0 ) ( x − x 2 ) ( x 1 − x 0 ) ⋅ ( x 1 − x 2 ) ⋅ y 1 + ( x − x 0 ) ( x − x 1 ) ( x 2 − x 0 ) ⋅ ( x 2 − x 1 ) ⋅ y 2 {f_2}\left( x \right) = \frac{{\left( {x - {x_1}} \right) \cdot \left( {x - {x_2}} \right)}}{{\left( {{x_0} - {x_1}} \right) \cdot \left( {{x_0} - {x_2}} \right)}} \cdot {y_0} + \frac{{\left( {x - {x_0}} \right)\left( {x - {x_2}} \right)}}{{\left( {{x_1} - {x_0}} \right) \cdot \left( {{x_1} - {x_2}} \right)}} \cdot {y_1} + \frac{{\left( {x - {x_0}} \right)\left( {x - {x_1}} \right)}}{{\left( {{x_2} - {x_0}} \right) \cdot \left( {{x_2} - {x_1}} \right)}} \cdot {y_2} f2​(x)=(x0​−x1​)⋅(x0​−x2​)(x−x1​)⋅(x−x2​)​⋅y0​+(x1​−x0​)⋅(x1​−x2​)(x−x0​)(x−x2​)​⋅y1​+(x2​−x0​)⋅(x2​−x1​)(x−x0​)(x−x1​)​⋅y2​