一、不同公式和问题中的r，含义不同

万有引力定律公式中的r指的是两个质点间的距离，对于相距很远因而可以看做质点的物体，指的是两个球心的距离。而向心力公式中的r，对于椭圆轨道指的是曲率半径，对于圆轨道它等于圆半径。开普勒第三定律中的r指的是椭圆轨道的半长轴。因此，同一个r在不同公式中所具有的含义不同。

例1、如图1所示，两个靠得很近的恒星称为双星，这两颗星必须以相同的角速度绕某一中心转动才不至于因万有引力而吸引在一起，已知双星的质量分别为和，相距为L，万有引力常量为G，求：

（1）双星转动的中心位置；

（2）转动周期。

图1

解析：设双星转动中心的位置O距离为r，与两恒星中心的距离L不同，则：

解得：

在求第二问时更应注意距离和半径的区别，对恒星有：

得转动同期为：

例2、飞船沿半径为R的圆周绕地球运动，其周期为T，如果飞船要返回地面，可在轨道上某一点A处将速率降低到适当数值，从而使飞船沿着以地心为焦点的椭圆轨道运行，椭圆与地球表面在B点相切，如图2所示，求飞船由A点运动到B点所需要的时间。（已知地球半径为）

图2

解析：本题用开普勒第三定律求解比较简单。对地球卫星绕地运行时所有卫星的轨道半长轴的三次方跟公转周期平方的比值都相等，对于在圆周轨道上运行的卫星其轨道的半长轴就是圆半径，所以，当飞船在圆周上绕地球运动时，有，当飞船进入椭圆轨道运动时，有，由两式联立得飞船在椭圆轨道上运动的周期：

故解得飞船由A运动到B点所需的时间为

二、向心加速度与重力加速度

对于向心加速度与重力加速度两个概念，既有区别又有联系：（1）在地球表面的不同纬度处，重力加速度的数值不相等，各处的向心加速度也不同；（2）在距离地面一定高度处绕地心做匀速圆周运动的物体具有的向心加速度和该处的重力加速度相等。

设地球质量为M，地球半径为R，地球表面的重力加速度为g，物体m离开地心的距离为r，在该处的向心加速度为，重力加速度为，则由：

联立得：

在距离地面一定高度处绕地心做匀速圆周运动的物体，重力完全提供向心力，所以物体处于完全失重状态，视重为零，物体本身受的重力即万有引力并不等于零。

例3、用m表示地球同步通信卫星的质量，h表示它离地面的高度，R表示地球的半径，g表示地球表面处的重力加速度，ω表示地球自转的角速度，则该通信卫星所受地球对它的万有引力的大小等于（ ）

A. 0

B. 

C. 

D. 

解析：在离地心为r处的这个表达式可以当做推论公式使用，这样解答就显得更加简便。通信卫星受到地球对它的万有引力的大小

由得：，则，故正确选项是B、C。

三、人造地球卫星的运行速度和发射速度

第一、第二、第三宇宙速度都是指卫星相对于地球的发射速率。若地球表面的空气阻力可以忽略，地球是个质量均匀的理想球体，则当人造地球卫星绕地球表面做匀速圆周运动时，由万有引力提供向心力，即，得卫星的运行速度（M为地球的质量），从式中可以看出，卫星离地面越高，其运行速度越小；卫星离地面越近，其运行速度越大。当卫星近地运行时，轨道半径（地球半径），这时其运行速度最大，即为，因此，人造地球卫星绕地球做匀速圆周运动的最大运行速度为，也就是说第一宇宙速度是卫星的最大运行速度。那么是卫星绕地球做匀速圆周运动的最大还是最小的发射速度？

虽然距地面高的卫星运行速度比靠近地面的卫星运行速度小，但是向高轨道发射卫星却比低轨道发射卫星要困难。因为向高轨道发射卫星，火箭要克服引力做更多的功。

具体可以这样来分析：

当一质量为m的卫星以速度v绕质量为M的地球做半径为r的圆周运动，如以无穷远处作为零势能点，则它的动能和势能分别为：

又因

所以，卫星的总能量

由以上推导可见，卫星飞得越高，其速度越慢，但是它的总能量却越大，这是发射高轨道卫星比较困难的原因之一。故7.9 km/s是人造卫星的最小发射速度。

例4、关于第一宇宙速度，下面说法中正确的是（ ）

A.它是人造卫星绕地球飞行的最小速度

B.它是近地圆轨道上人造卫星的运行速度

C.它是卫星在椭圆轨道上运行时在近地点的速度

D.它又叫环绕速度，即绕地球做圆轨道运行的卫星的速度都是第一宇宙速度

解析：所谓近地圆轨道是指地球为理想球体，地球没有大气层的情况下紧贴地面的圆轨道。第一宇宙速度即是一个特定的数值，是人造地球卫星绕地球做圆周运动的最大运行速度。由上面的概念可知，卫星做圆周运动时，离地越高，其运行速度越小，并不是绕地球做圆轨道运行的卫星速度都是第一宇宙速度。如果人造卫星进入地面附近的轨道速度大于，而小于，它绕地球运动的轨道就不是圆，而是椭圆。因此，该题的正确选项是B。