一阶微分方程的求解 |
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本篇介绍一下一阶微分方程的求解方法,以及伯努利方程的特殊求解方法。这个应该是上学时高数课中的内容,现在用到了,温习一下。 顺便感叹一下,时间过得真快。 1. 定义形如上式的方程称为一阶线性微分方程, 并且当Q(x)恒为零时称为齐次线性方程, Q(x)不恒为零时称为非齐次线性方程. 2. 通解 2.1 齐次线性方程的通解 对于齐次线性方程: 可以推出: 通解为: 2.2 非齐次线性方程的通解 对于非齐次线性方程: 设通解为: 带入非齐次线性方程: 积分得: 其中C为常数。 于是非齐次线性通解是: 由此可以看出,齐次线性方程的通解是非齐次线性方程的一个特解。 3. 伯努利方程 形如上式的方程叫做伯努利方程。 将方程线性化得: 例子: 求下列方程的通解 两边除以y的平方得: 将第一项中y的负平方移入微分内得: 由非齐次线性方程的通解可知: 即原方程的通解为: |
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