一阶线性微分方程、条件多阶线性微分方程通解公式

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一阶线性微分方程、条件多阶线性微分方程通解公式

2024-07-05 03:00:48| 来源: 网络整理| 查看: 265

一阶线性微分方程：

一阶线性微分方程标准形式为：

$\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x}+P\left ( x \right )y=Q\left ( x \right )$ ；

其中P(x）、Q(x)均为连续函数，改方程通解为： $y=e^{-\int P(x)dx}\left ( \int Q(x)e^{\int P(x)dx}dx+c \right )$ 。

下面是推导过程：

首先我们都知道假如知道了f(x)的导数方程，f(x)只用通过积分就可以得到，即

$\because y^{(1)}=f(x)$

$\therefore f(x)=\int ydx+c$

所以我们要得到f(x),就要知道其导数形式，但大多数情况我们不能直接看出，所以需要我们将没见过的形式转换成我们知道的能积分出来的形式。标准形式为 $y^{'}+P\left ( x \right )y=Q\left ( x \right )$ ,很容易发现这与我们学过的 $(uv)^{'}=u^{'}v+uv^{'}$ 十分相似，下面的工作就是找到u和v。

寻找过程中我们需要用到两个重要概念： $(e^{})^{'}=e^{x}$ ;

$(\int f(x)dx)^{'}=f(x)$ ;

将两者结合可以达到这样的效果： $(e^{\int f(x)dx})^{'}=e^{\int f(x)dx}f(x)$ 。

将标准式两端同乘 $e^{\int P(x)dx}$ 得到: $y^{'}e^{\int P(x)dx}+P\left ( x \right )ye^{\int P(x)dx}=Q\left ( x \right )e^{\int P(x)dx}$

即得到我们想要的： $(e^{\int P(x)dx}y)^{'}=y^{'}e^{\int P(x)dx}+P\left ( x \right )ye^{\int P(x)dx}$

即 $(ye^{\int P(x)dx})^{'}=Q\left ( x \right )e^{\int P(x)dx}$

积分得到： $ye^{\int P(x)dx}=\int Q\left ( x \right )e^{\int P(x)dx}dx+c$

左右同除 $e^{\int P(x)dx}$ （ $e^{\int P(x)dx}$ 不为0）得到： $y=e^{-\int P(x)dx}\left ( \int Q(x)e^{\int P(x)dx}dx+c \right )$

即得到通解，而c的值确定需要根据题目所给条件确定。

多阶线性微分方程（只包括最高阶和次高阶）

理解了一阶线性微分方程通解推导以后，多阶线性微分方程分析也是同样的方法。

以二阶为例，二阶标准形式为 $A(x)y^{''}+B(x)y^{'}=Q\left ( x \right )$ ,

令 $u=y^{'}$ ,则 $y^{''}=u^{'}$

原式= $A(x)u^{'}+B(x)u=Q\left ( x \right )$

$u^{'}+\frac{B(x)}{A(x)}u=\frac{Q(x)}{A(x)}$

$u^{'}e^{\int \frac{B(x)}{A(x)}dx}+\frac{B(x)}{A(x)}ue^{\int\frac{B(x)}{A(x)}dx}=\frac{Q\left ( x \right )}{A(x)}e^{\int \frac{B(x)}{A(x)}dx}$

$ue^{\int \frac{B(x)}{A(x)}dx}=\int \frac{Q\left ( x \right )}{A(x)}e^{\int \frac{B(x)}{A(x)}dx}dx+c1$

$u=e^{-\int \frac{B(x)}{A(x)}dx}(\int \frac{Q\left ( x \right )}{A(x)}e^{\int \frac{B(x)}{A(x)}dx}dx+c1)$

$y=\int udx+c2=\int e^{-\int \frac{B(x)}{A(x)}dx}(\int \frac{Q\left ( x \right )}{A(x)}e^{\int \frac{B(x)}{A(x)}dx}dx+c1)dx+c2$

往往需要两个初始条件解得c1、c2。

例题

最近在准备数学竞赛，选了一道竞赛题。

解： $\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x}=\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} t}\frac{\mathrm{d} t}{\mathrm{d} x}=\frac{\varphi (t)^{'}}{2+2t}$

$\frac{\mathrm{d} \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x}}{\mathrm{d} t}\frac{\mathrm{d} t}{\mathrm{d} x}=\frac{\varphi (t)^{''}(2+2t)-2\varphi (t)^{'}}{(2+2t)^{3}}=\frac{3}{4(1+t)}$