一个截面为抛物线形的旧河道,河口宽AB=4 m ,河深2 m ,现要将其截面改造为等腰梯形,要求河道深度不变,而且施工时只能挖土,不准向河道填土,试求当截面梯形的下底长为多少米时,才能使挖出的土最少? 题目和参考答案――青夏教育精英家教网―― |
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一个截面为抛物线形的旧河道,河口宽AB=4 m ,河深2 m ,现要将其截面改造为等腰梯形,要求河道深度不变,而且施工时只能挖土,不准向河道填土,试求当截面梯形的下底长为多少米时,才能使挖出的土最少? 题目和参考答案――青夏教育精英家教网――
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解析：此题是一道实际应用问题,要将截面改造为等腰梯形,又要使所挖出的土最少,只能沿着抛物线上某一点的切线去挖.?
如图,以抛物线顶点为原点,AB中垂线为y轴,建立直角坐标系,则A(-2,2),B(2,2).? 设抛物线方程:x2=2py(p＞0),将点B(2,2)代入得p=1 ,? 所以抛物线方程为x2=2y,即y= 设等腰梯形的腰与抛物线相切于点P(t, 则过点P的切线l的斜率为y′|x=t=t,? 所以一腰的方程为y- 即y=tx- 当y=0时,x= 所以截面面积S= 答案：当截面梯形的下底面边长为 |
x2.?
t2),?
=t(x-t),?
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;y=2时,x=
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,当且仅当t=
,即t=2时,“=”成立,此时下底边长为
.
m时,挖出的土最少.【本文地址】
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