2021.06 更新。补充了非线性拟合中，关于最小二乘定义的问题，放在了最后一章。 2021.12更新。应评论区建议，补充了3.3章绘图用的代码。

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惯例声明：本人没有相关的工程应用经验，只是纯粹对相关算法感兴趣才写此博客。所以如果有错误，欢迎在评论区指正，不胜感激。本文主要关注于算法的实现，对于实际应用等问题本人没有任何经验，所以也不再涉及。

本人在学习matlab匿名函数时，作为练习有感而发，写下下面内容，非专业，难免有误。

一般而言，通过已有的数据点去推导其它数据点，常见的方法有插值和拟合。插值适用性较广，尤其是线性插值或样条插值已被广泛的应用。但是通过已知的函数去拟合数据，是连接理论与实验重要的桥梁，这一点是插值无法替代的。

日常学习工作中，经常会遇到下面这种问题：想要用某个具体函数去拟合自己的数据，明明知道这个函数的具体形式，却不知道其中的参数怎么选取。本文就简单介绍一下matlab环境下，如何进行非线性拟合。

多项式拟合就是利用下面形式的方程去拟合数据： y = a + b x + c x 2 + d x 3 + . . . y=a +bx+cx^2+dx^3+... y=a+bx+cx2+dx3+... matlab中可以用polyfit()函数进行多项式拟合。下面举一个小例子：

对于已有的数据点，我们采用4阶多项式拟合。其中已知函数的的表达式为

在此基础上添加了一些噪声点。拟合曲线依然采用4阶进行拟合，结果如下。

可以看到拟合曲线与理论曲线基本一致，说明这种方法能够较好的拟合出原始数据的趋势。源代码如下：

对于多项式拟合，不是阶数越多越好。比如还是这个上面这个例子，阶数越多，曲线越能够穿过每一个点，但是曲线的形状与理论曲线偏离越大。所以选择最适合的才是最好的。

线性拟合就是能够把拟合函数写成下面这种形式的： y = p 1 f 1 ( x ) + p 2 f 2 ( x ) + p 3 f 3 ( x ) + . . . y=p_1 f_1(x) +p_2 f_2(x)+p_3 f_{3}(x)+... y=p1​f1​(x)+p2​f2​(x)+p3​f3​(x)+...

其中f(x)是关于x的函数，其表达式是已知的。p是常数系数，这个是未知的。

对于这种形式的拟合，matlab内部有一个及其强悍的函数，可以自动输出p的解，并且满足最小二乘。这个函数就是\。没错，就是斜杠。这个符号通常用于求解方程AX=B的情况，我们用X=A\B可以求出未知数X。我们利用当A行和列不等时，输出X的最小二乘这个特性，就可以求出相应的最佳拟合。

还是举个例子

虽然看上去很非线性，但是x和y都是已知的，a、b、c是未知的，而且是线性的，所以可以被非常简单的拟合出来。假设a=2.5，b=0.5，c=-1，加入随机扰动。拟合的最终效果为：

最终得到的拟合参数为：a=2.47，b=0.47，c=-0.66。考虑到随机噪声的影响，与原始数据相差不大，源代码如下：

事实上，其实常用的拟合方式中，有很多都是线性拟合，比如多项式拟合，傅里叶拟合等。对于多项式拟合，只需要把拟合的部分替换成x，x.^2，x.^3这种形式。对于傅里叶级数，只需要把拟合的部分替换为sin(x)，sin(2*x)，sin(3*x)这种形式就行。

下面展示一个利用线性拟合，进行不同频率的三角波级数拟合正弦函数的例子：

前面介绍了线性的拟合方法。如果一个非线性方程，可以化为上面线性方程中公式中给出的样子，那么我们也可以套用线性的方法去求解。

比如下面的方程： y = a ∗ exp ⁡ ( − b x ) y=a*\exp(-bx) y=a∗exp(−bx) 经过取对数变换，可以变为下面等效的线性形式： lg ⁡ ( y ) = lg ⁡ ( a ) + b ∗ ( − x ) \lg(y)=\lg(a)+b*(-x) lg(y)