自然科学的发展表明, 古典的函数概念是不够的, 或是不完全适合的。于是, 广义函数 论随之兴起。广义函数包括通常的函数在内, 甚至更广。它应是无限次可导和自由地进 行极限交换这一节我们介绍广义函数的大意。

首先介绍工程技术中常用的 δ \delta δ 函数。设想在无限长的细棒上有一质量分布, 只集中在一 点 x = 0 x=0 x=0 处, 总质量为 1 个单位。这意思是说, 有一假象的密度函数 δ ( x ) \delta(x) δ(x), 当 x ≠ 0 x \neq 0 x=0 时, 在 x = 0 x=0 x=0, 密度为无限大, 而密度函数的积分为总质量 1 : ∫ − ∞ + ∞ δ ( x ) d x = 1 1: \int_{-\infty}^{+\infty} \delta(x) d x=1 1:∫−∞+∞​δ(x)dx=1. 这种假象的函数, 已超出了通常 函数概念的框架。试想, 一个仅在一点不为零的函数, 是几乎处处为零的, 其积分应当是 0 , 怎么可能是 1 呢? 这类 δ ( x ) \delta(x) δ(x) 在工程里常常遇到, 例如无线电工程中考察脉冲, 在极短的一个 时间内爆发出一个能量的信号, 合上述质量的类型相似。

从 δ ( x ) \delta(x) δ(x) 的性质, 还可以形式地认为, 对一切连续函数 φ ( x ) \varphi(x) φ(x) 应有 ∫ − ∞ + ∞ δ ( x ) φ ( x ) d x = φ ( 0 ) \int_{-\infty}^{+\infty} \delta(x) \varphi(x) d x=\varphi(0) ∫−∞+∞​δ(x)φ(x)dx=φ(0), 这 可由下式看出: ∣ ∫ − ∞ + ∞ ( φ ( x ) − φ ( 0 ) ) δ ( x ) d x ∣ = ∣ ∫ − ε + ε ( φ ( x ) − φ ( 0 ) ) δ ( x ) d x ∣ ≤ max ⁡ ∣ x ∣ ε ∣ φ ( x ) − φ ( 0 ) ∣ ∫ − ε + ε δ ( x ) d x = max ⁡ ∣ x ∣ ε ∣ φ ( x ) − φ ( 0 ) ∣ → 0 ( ε → 0 ) . \begin{array}{r} \left|\int_{-\infty}^{+\infty}(\varphi(x)-\varphi(0)) \delta(x) d x\right|=\left|\int_{-\varepsilon}^{+\varepsilon}(\varphi(x)-\varphi(0)) \delta(x) d x\right| \\ \leq \max _{|x| \varepsilon}|\varphi(x)-\varphi(0)| \int_{-\varepsilon}^{+\varepsilon} \delta(x) d x=\max _{|x| \varepsilon}|\varphi(x)-\varphi(0)| \rightarrow 0(\varepsilon \rightarrow 0) . \end{array} ∣ ∣​∫−∞+∞​(φ(x)−φ(0))δ(x)dx∣ ∣​=∣ ∣​∫−ε+ε​(φ(x)−φ(0))δ(x)dx∣ ∣​≤max∣x∣ε​∣φ(x)−φ(0)∣∫−ε+ε​δ(x)dx=max∣x∣ε​∣φ(x)−φ(0)∣→0(ε→0).​ 请读者注意, 因为 δ ( x ) \delta(x) δ(x) 是假想函数, ∫ − ∞ + ∞ δ ( x ) d x \int_{-\infty}^{+\infty} \delta(x) d x ∫−∞+∞​δ(x)dx 的意义上尚不清楚, 上面的推论只是形式上的说明和假想的推论, 不能算作定义。我们下面的任务是要给广义函数 (包括这种 δ ( x ) \delta(x) δ(x) 给于一 种严格的数学定义。它的基本数学思想是: 由 ∫ − ∞ + ∞ δ ( x ) φ ( x ) d x = φ ( 0 ) \int_{-\infty}^{+\infty} \delta(x) \varphi(x) d x=\varphi(0) ∫−∞+∞​δ(x)φ(x)dx=φ(0), 可以认为 δ ( x ) \delta(x) δ(x) 是连续函数 空间上的连续线性泛函。这启发我们, 如果把连续函数空间进一步缩小, 收敛性进一步加强, 那么这个连续空间上的线性泛函一定更多, 我们不妨把它们称为广义函数。

定义1（基本空间） 设G是 − ∞ < x < ∞ -\infty10​ if x≥0 if xdx}=∫−∞∞​f(x)dH(x). δ {\delta} δ 函数的所有更高矩都是零。其特征函数和矩母函数都等于 1 。

在分布理论中，一个广义函数并不像普通函数一样直接定义，而是在它相对其他函数积分的时候，以它如何影响这一积分来定义。沿着这条思路，只须定义δ函数相对某个足够“良好”的测试函数的“积分”就足够了。如果δ函数已经定义为测度，则这种积分可以是测试函数相对于这δ测度的勒贝格积分。

测试函数空间一般可包括所有R上的紧支撑光滑函数。作为一个分布，δ函数是在测试函数空间上的线性泛函，定义为 δ ( φ ) = φ ( 0 ) δ(φ)=φ(0) δ(φ)=φ(0)。

δ函数是分布 若要使δ成为一个正式的分布，它必须要在测试函数空间上相对某个合适拓扑为连续的

定理（分布的等价条件）：在测试函数空间上的线性泛函S要能够良好定义一个分布，其必要和充分条件是，对于每个正整数N，有整数 M N M_N MN​和常数 C N C_N CN​，使得对每个测试函数φ，以下不等式都成立： ∣ S [ φ ] ∣ ≤ C N ∑ k = 0 M N sup ⁡ x ∈ [ − N , N ] ∣ φ ( k ) ( x ) ∣ |S[\varphi]| \leq C_{N} \sum_{k=0}^{M_{N}} \sup _{x \in[-N, N]}\left|\varphi^{(k)}(x)\right| ∣S[φ]∣≤CN​∑k=0MN​​supx∈[−N,N]​∣ ∣​φ(k)(x)∣ ∣​

当S就是δ分布时， C N C_N CN​ = 1， M N M_N MN​ = 0对于所有N，就能满足这条不等式。因此，δ是级数为零的分布。它也是一个紧支撑分布，其支撑集是{0}