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应用场景-修路问题
看一个应用场景和问题： (1)
有胜利乡有7个村庄(A, B, C, D, E, F, G) ，现在需要修路把7个村庄连通各个村庄的距离用边线表示(权) ，比如 A – B 距离 5公里问：如何修路保证各个村庄都能连通，并且总的修建公路总里程最短?
思路分析: 将10条边，连接即可，但是总的里程数不是最小. 正确的思路，就是尽可能的选择少的路线，并且每条路线最小，保证总里程数最少.
进而引出一个概念
最小生成树
修路问题本质就是就是最小生成树问题， 先介绍一下最小生成树(Minimum Cost Spanning Tree)，简称MST。
给定一个带权的无向连通图,如何选取一棵生成树,使树上所有边上权的总和为最小,这叫最小生成树N个顶点，一定有N-1条边包含全部顶点N-1条边都在图中举例说明(如图:)求最小生成树的算法主要是普里姆算法和克鲁斯卡尔算法
普里姆算法介绍
普利姆(Prim)算法求最小生成树，也就是在包含n个顶点的连通图中，找出只有(n-1)条边包含所有n个顶点的连通子图，也就是所谓的极小连通子图普利姆的算法如下: 2.1 设G=(V,E)是连通网，T=(U,D)是最小生成树，V,U是顶点集合，E,D是边的集合 2.2 若从顶点u开始构造最小生成树，则从集合V中取出顶点u放入集合U中，标记顶点v的visited[u]=1 2.3 若集合U中顶点ui与集合V-U中的顶点vj之间存在边，则寻找这些边中权值最小的边，但不能构成回路，将顶点vj加入集合U中，将边（ui,vj）加入集合D中，标记visited[vj]=1 2.4 重复步骤②，直到U与V相等，即所有顶点都被标记为访问过，此时D中有n-1条边 2.5 提示: 单独看步骤很难理解，我们通过代码来讲解，比较好理解.
普里姆算法的图解分析:
从A顶点开始处理 ==> A-C权值为7,A-G权值为2,A-B权值为5. 所以开始,将A和B顶点和他们相邻的还没有访问的顶点进行处理 A-C为7 ,A-B为5, G-B为3, G-E为4, G-F为6 从A-G-B开始寻找权值最小的边,和他们相邻的还没有访问的顶点进行处理.同上,选出了G-E. … …
最后得到集合为A,G,B,E,F,D,C 满足了最小生成树. 总公里数 2+3+4+5+4+7
 代码实现:
package com.qiu.prim;
import org.omg.CORBA.INTERNAL;
import java.util.Arrays;
public class PrimAlgorithm {
public static void main(String[] args) {
//测试图是否创建成功
char[] data = new char[]{'A','B','C','D','E','F','G'};
int verxs = data.length;
//邻接矩阵使用二维数组进行表示
int [][]weight=new int[][]{
//用10000表示两个较大的数来表示两个点不连通
{10000,5,7,10000,10000,10000,2},
{5,10000,10000,9,10000,10000,3},
{7,10000,10000,10000,8,10000,10000},
{10000,9,10000,10000,10000,4,10000},
{10000,10000,8,10000,10000,5,4},
{10000,10000,10000,4,5,10000,6},
{2,3,10000,10000,4,6,10000},};
MGraph mGraph = new MGraph(verxs);
//创建一个MinTree对象
MinTree minTree = new MinTree();
minTree.createGraph(mGraph,verxs,data,weight);
//输出
minTree.showGraph(mGraph);
//测试prim算法
minTree.prim(mGraph,0);
}
}
//创建最小生成树 -> 村庄的图
class MinTree{
/**
* //创建图的邻接矩阵
* @param graph 图对象
* @param verxs 图对应的顶点个数
* @param data 图各个顶点的值
* @param weight 图的邻接矩阵
*/
public void createGraph(MGraph graph,int verxs,char[] data,int[][] weight){
int i,j;
for (i = 0; i
graph.weight[i][j] = weight[i][j];
}
}
}
//显示图的邻接矩阵
public void showGraph(MGraph graph){
for (int[] link : graph.weight){
System.out.println(Arrays.toString(link));
}
}
/**
* //编写一个prim算法,得到最小生成树
* @param graph 图
* @param v 从图的第几个顶点开始生成
*/
public void prim(MGraph graph,int v){
//表示顶点是否被访问过
int[] visited = new int[graph.verxs];
//visited 默认元素的值都是0
for (int i = 0; i
//确定每一次生成的子图,和哪个和这次遍历的节点的距离最近,i结点表示被访问过的结点
for (int i = 0; i
if (visited[i] == 1 && visited[j] == 0 && graph.weight[i][j]
//表示图的节点个数
int verxs;
//存放结点数据
char[] data;
//存放边,就是我们的邻接矩阵
int[][] weight;
public MGraph(int verxs){
this.verxs = verxs;
data = new char[verxs];
weight = new int[verxs][verxs];
}
}
代码演示: 
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