单因素方差分析(One |
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单因素方差分析(One
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单因素方差分析(One-way ANOVA)，又称完全随机设计的方差分析，是指采用完全随机化的分组方法，是将受试对象随机地分配到各个处理组，再比较各组均数之间的差别有无统计学意义，推论处理因素的效应。本篇文章举例介绍单因素方差分析的适用条件及假设检验。 关键词：单因素方差分析; F检验; Welch检验; 韦尔奇检验; 事后检验; 两两比较 一、适用条件单因素方差分析，需要满足6个条件： 条件1：观察变量为连续变量。 条件2：观测值相互独立。 条件3：观测值可分为多组(≥2)。 条件4：观察变量不存在显著的异常值。 条件5：各组观测值为正态(或近似正态)分布。 条件6：多组观测值的整体方差相等。 二、统计量计算 (一) 单因素方差分析当多组观察变量的整体方差相等时，即满足方差齐性时，可采用F检验进行单因素方差分析。当多组观察变量的整体方差不相等时，即不满足方差齐性时，可通过变量变换达到方差齐性要求，或者采用校正的单因素方差分析法(Welch检验)进行比较。 1. F检验单因素方差分析的总变异可拆分为组间变异和组内变异两部分： SS总=SS组间+SS组内，υ总=υ组间+υ组内 方差分析计算公式见图1，表中校正数C= \( \left(\sum_{i=1}^{g}\sum_{j=1}^{n_{i}} X_{i j}\right)^{2}/N\) ，N为样本量，g为处理组数。  图1 单因素方差分析表
2. Welch检验
Welch检验是指采用Welch分布的统计量检验各组均值是否相等。Welch分布近似于F分布，采用Welch检验对方差齐性没有要求，所以当数据的分布不满足方差齐性的要求时，采用Welch检验比F检验更稳妥。其计算公式如下： \( F=\frac{\frac{1}{k-1} \sum_{j=1}^{k} \mathrm{w}_{j}\left(\bar{x}_{j}-\bar{x}^{\prime}\right)^{2}}{1+\frac{2(k-2)}{k^{2}-1} \sum_{j=1}^{k}\left(\frac{1}{n_{j}-1}\right)\left(1-\frac{w_{j}}{w}\right)^{2}} \)其中， \( w_{j}=\frac{n_{j}}{s_{j}^{2}}，w=\sum_{j=1}^{k} w_{j} \) ， \( \bar{x}^{\prime}=\frac{\sum_{j=1}^{k} w_{j} \overline{x_{j}}}{w} \) ，k为处理组数。 F~F(k-1, df) 自由度： \( d f=\frac{k^{2}-1}{3 \sum_{j=1}^{k}\left(\frac{1}{n_{j^{-1}}}\right)\left(1-\frac{w_{j}}{w}\right)^{2}} \) (二) 多个样本均数的两两比较单因素方差分析整体比较，推断结论为拒绝H0，接受H1时，只能认为各总体均数之间整体比较有差异，但尚不能说明任意两个总体均数之间都有差别。若要进一步推断具体哪两个总体均数有差别，需要进一步事后检验(两两比较)。多个样本均数比较的事后检验可分为两种情况，一是各组间均要相互比较，以了解任何两组间是否有差别；二是仅考虑某指定组与其它各组比较，例如有一组为对照组，意欲了解其它各实验组与该对照组间是否有差别。多重比较的方法很多，这里介绍三种方法，即适用于多组间两两比较的 SNK法 (q检验)，适用于某指定组与其它各组比较的Dunnett-t法(q'检验)，以及适用于方差不齐时多组间两两比较的Games-Howell法。 1. SNK法SNK法(Student-Newman-Keuls)用于比较每两个样本均数所代表的总体均数是否不同，其检验统计量为q，又称q检验。 \( q=\left(\bar{X}_{A}-\bar{X}_{B}\right) / \sqrt{\frac{M S_{\text {误差 }}}{2} \times\left(\frac{1}{n_{\mathrm{A}}}+\frac{1}{n_{\mathrm{B}}}\right)} \)式中 \( \bar{X}_{A} \) 、 \( \bar{X}_{B} \) 为两对比组的样本均数，MS误差为方差分析中算得的误差均方(或称组内均方)，nA和nB分别对两对比组样本例数。 2. Dunnett-t法Dunnett-t法适用于多个实验组与一个对照组间的两两比较，其检验统计量为q'，又称q'检验。 \( q^{\prime}=\frac{\left|\bar{X}_{T}-\bar{X}_{C}\right|}{\sqrt{M S_{\text {误差 }}\left(\frac{1}{n_{T}}+\frac{1}{n_{C}}\right)}} \)上式中 \( \bar{X}_{T} \) 与nT为实验组均数和样本例数， \( \bar{X}_{C} \) 与nC为对照组均数和样本例数。算得q'值后需查(q'界值表)。(q'界值表)中的υ仍为方差分析中误差项的自由度，a仍为两对比组包含的组数。 3. Games-Howell法Games-Howell法适用于方差不齐时多组间的两两比较。这种方法背后的理念是关注两组平均值之间差异的最大值。其统计量计算为： \( \text { s.e. }=\sqrt{\frac{1}{2} \cdot\left(\frac{s_{i}^{2}}{n_{i}}+\frac{s_{j}^{2}}{n_{j}}\right)} \)n为每组样本量。统计量q的分布称为studentized range q分布。该分布的临界值在基于 α 、k (组数)和dfw值的(studentized range q表)中给出。如果q > qcrit，则两组均值有统计学差异。 此检验相当于 \( \bar{x}_{\max }-\bar{x}_{\min }>q_{\text {crit }} \sqrt{\frac{1}{2} \cdot\left(\frac{s_{i}^{2}}{n_{i}}+\frac{s_{j}^{2}}{n_{j}}\right)}，其中 [latex] d f^{\prime}=\frac{\left(\frac{s_{i}^{2}}{n_{i}}+\frac{s_{j}^{2}}{n_{j}}\right)^{2}}{\left.\frac{\left(\frac{s_{i}^{2}}{n_{i}}\right)^{2}}{n_{i}-1}+\frac{s_{j}^{2}}{n_{j}}\right)^{2}} \) 三、案例数据某医生用A、B、C三种方案治疗血红蛋白低下的贫血患者，治疗两个月后，记录每名受试者血红蛋白的上升克数。问3种治疗方案对患者贫血的疗效是否有差别？具体数据见图2。  图2
四、假设检验
(一) 正态性检验
在方差分析中，有两种选择来检验正态性(参考“方差分析的基本思想和应用条件”)。本例中一共有3个分组，每个分组有很多观测值，那么可以检验每组观测值的正态性。本文采用jamovi软件进行数据的正态性检验，具体过程参考“单因素方差分析—jamovi软件实现”，结果如图3和图4所示。  图3
 图4
图3和图4按照组别列出了三组的正态性检验结果。图3的Q-Q图上三组散点基本围绕对角线分布，提示三组数据呈正态分布；图4的正态性检验结果分别显示三组的P=0.296、0.486、0.435，均>0.1，也提示三组数据满足正态性条件。综上，本案例满足正态性条件。 (二) 方差齐性检验此处使用Levene检验进行方差齐性检验，使用jamovi软件完成计算过程，具体操作详见“单因素方差分析—jamovi软件实现”，结果如图5和图6所示。  图5
 图6
由图5“Descriptives (描述性分析)”表格中“Std. deviation (标准差)”和“Variance (方差)”结果可知，A、B、C三组的标准差分别为0.867、0.738、0.538，方差分别为0.752、0.545和0.290，三组的方差数值存在差异，但还需要依据统计学检验的结果进行判断。 图6“Homogeneity of Variances Test (Levene’s) (Levene’s方差齐性检验)”为方差齐性检验结果，可见F=2.610，P=0.080 F0.05(2,48)，则P |
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