本读书笔记将介绍Sobolev空间的基础知识。

在进入Sobolev空间前，首先给出弱导数的定义。

定义1（弱导数）设  且  是一个多指数。称  是  的  阶弱导数，记

是指对所有的测试函数  有

如果不存在上述的  ，则称  的  阶弱导数不存在。

引理1 （弱导数的唯一性）如果  的  阶弱导数不存在，则该弱导数唯一  。

现令  ， 是一个非负整数。

定义2（Sobolev空间）Sobolev空间

包含所有的局部可求和函数  ， 对每个多指数  ， 存在且  。

特别的，当  时，此时Sobolev空间就是Hilbert空间，即可以定义内积，记

下面给出Sobolev空间中范数，极限等概念。

定义3（Sobolev范数）如果  ，定义范数

定义4（极限）令 ，  。称   在  中收敛于  ，记作

是指

在局部意义下， 是指对每个  ，有

定义5（闭集）定义  为在  中  的闭集。

由上面的定义可以得到， 当且仅当存在函数  ， 

弱导数有一些常用的结论：

定理1（一些弱导数的性质）假设  ， 。则

(1)  ，且 ，对所有的多指数 且  。

(2) 对每个  ，其中 。

(3) 如果  是  中的一个开子集，则  。

(4) 如果  ，则  ，且

第一条性质说明了弱导数可以交换先后次序，第二条性质说明了弱导数具有线性性，第四条就是Leibniz公式。

现在给出一些判断弱导数存在性的例子，读者可以自行验证。

例1 令  ， ，且

定义

则  是  的弱导数。

例2 令  ， ，且

则  不存在弱导数。

例3 取  ， ，则当  时， 。

注：例1，例2直接用定积分验证；例3由于在0处无意义，需要在积分时去掉一个足够小的开球（以0为球心）。