下面希望对$H^{m,p}(\mathbb{R}^n)$将$m$为实数的情形给出定义. 考虑$p=2$的情形, 记$H^{m,2}$为$H^m.$ 由于$H^m(\mathbb{R}^n)\subset L^2(\mathbb{R}^n)\subset \mathscr{S}’(\mathbb{R}^n),$ 可以对其做Fourier变换. 由变换性质, 我们有:

于是对$s\in \mathbb{R}^n,$ 可以定义实指数Sobolev空间$H^s(\mathbb{R}^n)\subset \mathscr{S}’(\mathbb{R}^n),$ 配备模

在$s$为非负整数时由上述推导过程, 与原始定义的$H^{s,2}$相容. 可以证明它也是$C_c^\infty(\mathbb{R}^n)$的完备化空间, 配备与范数相容的内积. 类似地, 可以定义齐次模

对实指数Sobolev空间, 我们有如下Sobolev不等式:

定理 1.1. $\,\forall\,s>\frac{n}{2},$ 我们有如下不等式:

证: 由Fourier逆变换, $f(x)=(2\pi)^{-n}\int_{\mathbb{R}^n} e^{ix\cdot \xi}\widehat{f}(\xi)d\xi,$ 于是

容易看出我们也有如下的事实:

定理 1.2. $(H^s(\mathbb{R}^n))^\ast =H^{-s}(\mathbb{R}^n).$

证: $\,\forall\,f\in H^s(\mathbb{R}^n),$ $g\in H^{-s}(\mathbb{R}^n),$ 我们有

于是$H^{-s}(\mathbb{R}^n)\subset (H^s(\mathbb{R}^n))^\ast .$ 反过来若$g\in (H^s)^\ast ,$ $g\in \mathscr{S}’(\mathbb{R}^n).$ 由同样的式子,

由于$(1+|\xi|^2)^s \widehat{f}(\xi)$在$L^2$中稠密(包含$C_c^\infty$), $(1+|\xi|^2)^{-s}\widehat{g}\in (L^2)^\ast =L^2,$ 从而$\parallel g\parallel_{H^{-s} }=\parallel(1+|\xi|^2)^{-s}\widehat{g}\parallel_{L^2}0$使得$\Omega\subset [-L,L]^n.$ 那么$f(x)=\int_{-L}^{x_1}\partial_1f(y_1,x’)dy_1.$ 于是

对有界区域$\Omega,$ 由Sobolev不等式与基本的分析,

因此有嵌入$H^{m,q}(\Omega)\hookrightarrow L^p(\Omega).$ 当不等式严格时, 即$\frac{n}{p}>\frac{n}{q}-m,$ 我们可以证明嵌入是紧的, 即将有界集映到列紧集.

取到严格不等号就可以说明嵌入是紧的, 大致是因为此时可以使用导数, 通过Ascoli-Arzela引理证明. 即设$\frac{n}{p}=\frac{n}{q}-s,$ 那么大致有

由于嵌入是连续的, 将收敛列映到收敛列, 只需说明第一个嵌入是紧的即可. 但是对一般的$q$尚未定义$H^{s,q},$ 因此上述说明只是形式上的. 具体证明时将不借助$H^{s,q},$ 直接给出证明.

我们可以对$p=2$时已定义的情形给出证明. 我们说明对$s>t>0,$ 有紧嵌入

这里$f\in H^t_{loc}(\mathbb{R}^n)$即为满足$\,\forall\,\varphi\in C_c^\infty(\mathbb{R}^n),$ $\varphi f\in H^t(\mathbb{R}^n)$的函数.

引理 1.5. $\,\forall\,f\in C_c^\infty(\mathbb{R}^n),$ $s>t>0,$ 我们有如下不等式:

证: 不妨设$s-t\in (0,1).$ 对一般情况在$(s,t)$间加分点即可. $F[f(x+h)-f(x)]=(e^{-ih\cdot \xi}-1)\widehat{f}(\xi).$ 注意到$|e^{-ih\cdot\xi}-1|\le 2$或$C|h\cdot\xi|,$ 因此$|e^{-ih\cdot \xi}-1|\le C|h|^{s-t}|\xi|^{s-t}.$ 从而

推论 1.6. $|\alpha_\varepsilon\ast f-f|_{\dot{H}^t(\mathbb{R}^n)}\le C\varepsilon^{s-t}|f|_{\dot{H}^s(\mathbb{R}^n)}$

因此设$\{f_{\nu}\}$为$\dot{H}^s(\mathbb{R}^n)$有界函数列, 那么$\,\forall\,\varepsilon>0,$ $\{\alpha_\varepsilon\ast f_\nu\}$为$C^m$有界函数列, $\,\forall\,m>t+1.$ 从而由Arzela-Ascoli引理, 其有在任意紧集上$C^{m-1}$收敛的子列, 即$C_{loc}^{m-1}$紧. 自然地, 收敛列在$H^{m-1}$模意义下也收敛, 因此是$H^{m-1}_{loc}$紧的. 而$H^{m-1}\hookrightarrow H^t$为连续嵌入, 故$\{\alpha_\varepsilon\ast f_\nu\}$是$H^t_{loc}$紧的.

由推论, 对$\nu$一致地有$\alpha_\varepsilon\ast f_{\nu} \xrightarrow{\dot{H}^t} f_{\nu},$ 由对角线法可证$\{f_{\nu}\}$有Cauchy子列, 从而是$H^t_{loc}$紧的. 因此$H^s(\mathbb{R}^n)$到$H^t_{loc}(\mathbb{R}^n)$的嵌入是紧的.

文章最后更新于 2021-11-13 18:16:30