变上限积分函数的等价无穷小代换不能乱用，这里有些老师讲课的时候都没有注意到，变上限积分函数等价无穷小代换的前提条件。

x → 0 x\rightarrow 0 x→0时， g ( x ) ∼ h ( x ) g(x) \sim h(x) g(x)∼h(x)，且 l i m x → 0 f ( x ) = 0 \mathop{\rm lim}\limits_{x \to 0} {f(x)} = 0 x→0lim​f(x)=0,则有 ∫ 0 g ( x ) f ( t ) d t ∼ ∫ 0 h ( x ) f ( t ) d t \int_0^{g(x)} f(t) \mathrm{d} t \sim \int_0^{h(x)} f(t) \mathrm{d} t ∫0g(x)​f(t)dt∼∫0h(x)​f(t)dt

有小伙伴认为，如果 g ( x ) = x 2 + x 3 sin ⁡ 1 x , h ( x ) = x 2 , f ( x ) = x g(x)=x^2+x^3 \sin \frac{1}{x}, h(x)=x^2, f(x)=x g(x)=x2+x3sinx1​,h(x)=x2,f(x)=x 可以得到 lim ⁡ x → 0 ∫ 0 g ( x ) f ( t ) d t ∫ 0 h ( x ) f ( t ) d t = lim ⁡ x → 0 g ( x ) h ( x ) ⋅ g ′ ( x ) h ′ ( x ) = lim ⁡ x → 0 3 x 2 sin ⁡ 1 x − x cos ⁡ 1 x + 2 x 2 x \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\int_0^{g(x)} f(t) \mathrm{d} t}{\int_0^{h(x)} f(t) \mathrm{d} t}=\lim _{x \rightarrow 0} \frac{g(x)}{h(x)} \cdot \frac{g^{\prime}(x)}{h^{\prime}(x)}=\lim _{x \rightarrow 0} \frac{3 x^2 \sin \frac{1}{x}-x \cos \frac{1}{x}+2 x}{2 x} x→0lim​∫0h(x)​f(t)dt∫0g(x)​f(t)dt​=x→0lim​h(x)g(x)​⋅h′(x)g′(x)​=x→0lim​2x3x2sinx1​−xcosx1​+2x​ 极限“不存在”就说这是一个反例。实际上这是一个“假”的反例，事实上 lim ⁡ x → 0 ∫ 0 g ( x ) − h ( x ) f ( t ) d t ∫ 0 h ( x ) f ( t ) d t = lim ⁡ x → 0 ∫ 0 x 3 sin ⁡ 1 x t   d t ∫ 0 x 2 t   d t = lim ⁡ x → 0 1 2 x 6 sin ⁡ 2 1 x 1 2 x 4 = 0 \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\int_0^{g(x)-h(x)} f(t) \mathrm{d} t}{\int_0^{h(x)} f(t) \mathrm{d} t}=\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\int_0^{x^3 \sin \frac{1}{x}} t \mathrm{~d} t}{\int_0^{x^2} t \mathrm{~d} t}=\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\frac{1}{2} x^6 \sin ^2 \frac{1}{x}}{\frac{1}{2} x^4}=0 x→0lim​∫0h(x)​f(t)dt∫0g(x)−h(x)​f(t)dt​=x→0lim​∫0x2​t dt∫0x3sinx1​​t dt​=x→0lim​21​x421​x6sin2x1​​=0 也就是说 lim ⁡ x → 0 ∫ 0 g ( x ) f ( t ) d t ∫ 0 h ( x ) f ( t ) d t = 1 \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\int_0^{g(x)} f(t) \mathrm{d} t}{\int_0^{h(x)} f(t) \mathrm{d} t}=1 x→0lim​∫0h(x)​f(t)dt∫0g(x)​f(t)dt​=1

lim ⁡ x → 0 ∫ 0 x e − 1 t 2   d t ∫ 0 sin ⁡ x e − 1 t 2   d t = lim ⁡ x → 0 e − 1 x 2 e − 1 sin ⁡ 2 x ⋅ cos ⁡ x = lim ⁡ x → 0 e 1 sin ⁡ 2 x − 1 x 2 = e l i m x → 0 x 2 − sin ⁡ 2 x x 4 = e 1 3 ≠ 1 \begin{aligned} \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\int_0^x \mathrm{e}^{-\frac{1}{t^2}} \mathrm{~d} t}{\int_0^{\sin x} \mathrm{e}^{-\frac{1}{t^2} \mathrm{~d} t}} & =\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\mathrm{e}^{-\frac{1}{x^2}}}{\mathrm{e}^{-\frac{1}{\sin ^2 x} }\cdot \cos x} \\ & =\lim _{x \rightarrow 0} \mathrm{e}^{\frac{1}{\sin ^2 x}-\frac{1}{x^2}}=\mathrm{e}^{\mathop{\rm lim}\limits_{x \to 0} \frac{x^2-\sin ^2 x}{x^4}} \\ & =\mathrm{e}^{\frac{1}{3}} \neq 1 \end{aligned} x→0lim​∫0sinx​e−t21​ dt∫0x​e−t21​ dt​​=x→0lim​e−sin2x1​⋅cosxe−x21​​=x→0lim​esin2x1​−x21​=ex→0lim​x4x2−sin2x​=e31​=1​ 这个被积函数是怎么想出来的呢？我们先看一个结论的证明。

当 x → 0 x\rightarrow 0 x→0时， g ( x ) ∼ h ( x ) g(x) \sim h(x) g(x)∼h(x)，且 l i m x → 0 g ′ ( x ) h ′ ( x ) = 1 \mathop{\rm lim}\limits_{x \to 0} \frac{g^{\prime}(x)}{h^{\prime}(x)}=1 x→0lim​h′(x)g′(x)​=1（这个条件给的很强，比如前面的“假”的反例就不满足，不过考研当中经常可以满足），且在 x = 0 x=0 x=0的某去心邻域内 g ( x ) ≠ 0 , h ( x ) ≠ 0 g(x) \neq 0, h(x) \neq 0 g(x)=0,h(x)=0，则有 ∫ 0 g ( x ) t m   d t ∼ ∫ 0 h ( x ) t m   d t , m > 0 \int_0^{g(x)} t^m \mathrm{~d} t \sim \int_0^{h(x)} t^m \mathrm{~d} t, m>0 ∫0g(x)​tm dt∼∫0h(x)​tm dt,m>0 其中 m > 0 m>0 m>0， 证明： lim ⁡ x → 0 ∫ 0 g ( x ) t m   d t ∫ 0 h ( x ) t m   d t = lim ⁡ x → 0 [ g ( x ) h ( x ) ] m g ′ ( x ) h ′ ( x ) = 1 \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\int_0^{g(x)} t^m \mathrm{~d} t}{\int_0^{h(x)} t^m \mathrm{~d} t}=\lim _{x \rightarrow 0}\left[\frac{g(x)}{h(x)}\right]^m \frac{g^{\prime}(x)}{h^{\prime}(x)}=1 x→0lim​∫0h(x)​tm dt∫0g(x)​tm dt​=x→0lim​[h(x)g(x)​]mh′(x)g′(x)​=1

我们注意到证明的最后一步 l i m x → 0 [ g ( x ) h ( x ) ] m g ′ ( x ) h ′ ( x ) = 1 \mathop{\rm lim}\limits_{x \to 0} \left[\frac{g(x)}{h(x)}\right]^m \frac{g^{\prime}(x)}{h^{\prime}(x)} = 1 x→0lim​[h(x)g(x)​]mh′(x)g′(x)​=1这里的 m m m是有限值，所以极限一定是1，那么如果是 1 ∞ 1^{\infty} 1∞的形式的话，这个极限就未必是1了，也就是说我们找的被积函数要比 x x x的任意有限阶次幂高阶才有可能行，而 l i m x → 0 e − 1 x 2 x n = 0 \mathop{\rm lim}\limits_{x \to 0} \frac{\mathrm{e}^{-\frac{1}{x^2}}}{x^n}=0 x→0lim​xne−x21​​=0(不论 n n n有多大)，因此分子 e − 1 x 2 \mathrm{e}^{-\frac{1}{x^2}} e−x21​作为被积函数是可能是反例。

变上限积分函数的等价无穷小代换是有前提的，不能“无脑”等价，尤其是在大题中如果出现抽象函数，更是要慎用变上限积分函数的等价无穷小代换。