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递推关系式又称为反馈逻辑函数或递推方程。设图2所示的线性反馈移位 寄存器的初始状态为 , 经一次移位线性反馈, 移位寄存器 左端第一级的输入为

若经 次移位, 则第一级的输入为

其中, 由此可见, 移位寄存器第一级的输入, 由反馈逻辑及移位寄存器的原状态所决定。上式称为递推关系式。

用多项式 f(x) 来描述线性反馈移位寄存器的反馈连接状态:

称为特征多项式或特征方程。其中, 存在, 表明 , 否则 , x 本身的取值并无实际意义。 的取值决定了移位寄存器的反馈连接。 由于 , 因此, f(x) 是一个常数项为 1 的 n 次多项式, n 为移位寄存器级数。

一个 n 级线性反馈移位寄存器能产生 m 序列的充要条件是它的特征 多项式为一个 n 次本原多项式。若一个 n 次多项式 f(x) 满足下列条件:

(1) f(x) 为既约多项式(即不能分解因式的多项式);

(2) f(x) 可整除 ;

(3) f(x) 除不尽 。

则称 f(x) 为本原多项式。以上为我们构成 m 序列提供了理论根据。

用线性反馈移位寄存器构成 m 序列产生器, 关键是由特征多项式 f(x) 来确定反馈 线的状态, 而且特征多项式 f(x) 必须是本原多项式。

现以 n=4 为例来说明 m 序列产生器的构成。用4级线性反馈移位寄存器产生的 m 序列, 其周期为 , 其特征多项式 f(x) 是 4 次本原多项式，能整除 。先将 分解因式, 使各因式为既约多项式, 再寻找 f(x) 。

其中, 4 次既约多项式有 3 个, 但 能整除 , 故它不是本原多 项式。因此找到两个4次本原多项式 和 。由其中任何一个都可 产生 m 序列。用 构成的 序列产生器如图所示。

设4级移位寄存器的初始状态为 1000 , 。输出序列 的周期长度为 15 。

m 序列每一周期中 1 的个数比 0 的个数多 1 个。由于 为奇 数, 因而在每一周期中 1 的个数为 (偶数), 而 0 的 个数为 (奇数)。上例中 p=15,1 的个数为 8,0 的个 数为 7。当p足够大时, 在一个周期中 1 与 0 出现的次数基本相等。

我们把一个序列中取值(1 或 0)相同连在一起的元素合称为一个游程。在一个游程中元素的个数称为游程长度。例如图中给出的 序列

在其一个周期的 15 个元素中, 共有 8 个游程 长度为 4 的游程 1 个, 即 1111 ; 长度为 3 的游程 1 个, 即 000 ; 长度为 2 的游程 2 个, 即 11 与 00 ; 长度为 1 的游程 4 个, 即 2 个 1 与 2 个 0 。

m 序列的一个周期 中, 游程总数为 。

长度为 1 的游程个数占游程总数的 1 / 2 ; 长度为 2 的游程个数占游 程总数的 ; 长度为 3 的游程个数占游程总数的 等等。

一般地, 长度为k的游程个数占游程总数的 , 其 中 。而且, 在长度为k的游程中, 连1游程与连0游程各占一半, 长为 (n-1) 的游程是连0游程, 长为n的游程是连1游程。

序列和它的位移序列模二相加后所得序列仍是该 序列的某个 位移序列。设 是周期为 p 的 m 序列 的 r 次延迟移位后的序列, 那么

其中, 为 某次延迟移位后的序列。例如，

延迟两位后得 , 再模二相加

可见, 为 延迟 8 位后的序列。

序列具有非常重要的自相关特性。在 序列中, 常常用 +1 代表 0 , 用-1代表 1。此时定义：设长为 p 的 序列, 记作

经过 次移位后, 序列为

其中, (以 p 为周期), 以上两序列的对应项相乘然后相加, 利用所得的总和

来衡量一个 m 序列与它的 j 次移位序列之间的相关程度, 并把它叫 做 序列 的自相关函数。记作

当采用二进制数字 0 和 1 代表码元的可能取值时, 上式可表示为

式中, A、D分别是 序列与其 j 次移位的序列在一个周期中对应元素相同、不相同的数目, 还可以改写为

由移位相加特性可知, 仍是 m 序列中的元素, 所以式分子就等于 m 序列中一个周期中 0 的数目与 1 的数目之差。另外由 序列的均衡性可知, 在一个周期中 0 比 1 的个数少一个, 故得 ( j 为非零整数时) 或 p(j为零时) 。因此得

序列的自相关函数只有两种取值 (1 和 -1 / p) 。 R(j) 是一个周期函数, 即

式中, 为周期。而且 是偶函数, 即

如果我们对一个正态分布白噪声取样，若取样值为正，记为+1，

若取样值为负，记为-1，将每次取样所得极性排成序列，可以写成 ...+1,-1,+1,+1,+1,-1,-1,+1,-1,...

这是一个随机序列，它具有如下基本性质:(1)序列中+1和-1出现的概率相等;

序列中长度为 1 的游程约占 1 / 2 , 长度为 2 的游程约占 1 / 4 , 长度为 3 的游程约占 1 / 8, 一般地, 长度为 的游程约占 , 而且 +1 、-1 游程的数目各占一半;

由于白噪声的功率谱为常数, 因此其自相关函数为一冲击函数 。 把 序列与上述随机序列比较, 当周期长度 足够大时, 序列与随机序列的性质是十分相似的。可见, 序列是一种伪喿声特性较好的伪随机序列, 且易产生, 因此应用十分广泛。

参考文献：