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【清风数学建模教程笔记】 文章目录 微分方程概述及matlab代码（求解析解）微分方程概述引例：导弹射击问题微分方程基本概念Matlab求微分方程的解析解关于导弹射击问题的matlab求解关于Matlab求解析解的几点注意 微分方程概述当我们描述实际对象的某些特性随时间（空间）而演变的过程，分析它的变化规律，预测它的未来形态、研究它的控制手段时。通常要建立对象的动态模型。 在许多实际问题中，当直接导出变量之间的函数关系较为困难，但导出包含未知函数的导数或微分的关系式比较容易时，可以用建立微分方程模型的方法来研究该问题。 分类：常微分方程（未知函数是一个一元函数）和偏微分方程（未知函数是一个多元函数）国赛趋势：越来越重视微分方程、物理领域等解析解和数值解 解析解(analytical solution)是严格按照公式逻辑推导得到的，具有基本的函数形式。给出任意的自变量就可以求出其因变量，也就是问题的解，他人可以利用这些公式计算各自的问题，具有广泛适用性；数值解(numerical solution)是采用某种计算方法，在特定的条件下得到的一个近似数值结果，如有限元法，数值逼近法，插值法等等得到的解。别人只能利用数值计算的结果，而不能随意给出自变量并求出计算值。 微分方程模型的应用十分广泛：例如人口预测模型、捕食者猎物模型、种群相互竞争\依存模型、传染病模型等关于传染病模型的学习资源 上海财经大学传染病模型讲解上海市现代应用数学重点实验室对新冠肺炎的一些研究报告(emo 看不懂) 引例：导弹射击问题
微分方程：含导数或微分的方程称为微分方程，其一般形式为 f ( x , y 1 , y 2 , . . . , y n ) = 0 f(x,y^1,y^2,...,y^{n})=0 f(x,y1,y2,...,yn)=0 微分方程的阶数：微分方程中所含导数或微分的最高阶数称为微分方程的阶数，例如下式是三阶微分方程。 y ′ ′ ′ + 2 y ′ ′ − 2 x = 0 y'''+2y''-2x = 0 y′′′+2y′′−2x=0 微分方程的解：使得微分方程成立的函数称为微分方程的解。 微分方程的通解和特解：不含任意常数的解称为微分方程的特解；若解中所含的相互独立的任意常数的个数与微分方程的阶数相等，则称此解为微分方程的通解。例如： y ′ − e x = 0 y'-e^x=0 y′−ex=0 特解为 e x e^x ex 通解为 e x + C e^x+C ex+C 初值条件：能够确定通解中任意常数的条件称为微分方程的初值条件。 如何建立微分方程？ 按照专业知识、规律直接列方程。套用现有的微分方程模型。（根据具体问题改进） Matlab求微分方程的解析解解析解：即给出解的具体表达式，若给定初始条件，则能求出含具体常数的解。 以下给出几个例子。 例1： y − d y d x = 2 x y - \frac{dy}{dx}=2x y−dxdy=2x clear;clc dsolve('y-Dy=2*x','x') %此处要指定自变量为x % 输出 2*x + C1*exp(x) + 2 (这里的C1表示任意常数，有时候也会出现C2 C3等) % 如果不指定自变量的话，会默认自变量为t，x会看成一个常数 % 下面这种写法是新版的matlab推荐的方式,注意：最新版本的matlab会逐渐淘汰上面那种写法 syms y(x) eqn = (y - diff(y,x) == 2*x); % 注意原来方程中的“=”一定要改成“==” dsolve(eqn)当微分方程中还有其他的未知参数时 y − d y d x = a x y - \frac{dy}{dx}=ax y−dxdy=ax % 方法1 dsolve('y-Dy=a*x','x') % a是一个未知的参数 % 方法2 syms y(x) a eqn = (y - diff(y,x) == a*x); dsolve(eqn)例2： y − y ′ = 2 x 且 y ( 0 ) = 3 y-y' =2x且y(0)=3 y−y′=2x且y(0)=3 % 方法1 dsolve('y-Dy=2*x','y(0)=3','x') % 输出：2*x + exp(x) + 2 % 方法2 syms y(x) eqn = (y - diff(y,x) == 2*x); %初值条件 cond = (y(0) == 3); dsolve(eqn,cond) % 2*x + exp(x) + 2例3： y ′ ′ + 4 y ′ + 29 y = 0 且 y ( 0 ) = 0 , y ′ ( 0 ) = 15 y'' +4y'+29y=0且y(0)=0,y'(0)=15 y′′+4y′+29y=0且y(0)=0,y′(0)=15 % 方法1 dsolve('D2y+4*Dy+29*y=0','y(0)=0,Dy(0)=15','x') % 3*sin(5*x)*exp(-2*x) % 方法2 syms y(x) eqn = (diff(y,x,2) + 4 *diff(y,x) + 29*y == 0); Dy = diff(y,x); % 定义变量Dy为y的一阶导数 cond = [(y(0) == 0) ,(Dy(0) ==15)] ; % 有两个条件，可以写到一个向量中保存 dsolve(eqn,cond) % 3*sin(5*x)*exp(-2*x)例4： 微分方程组求解，具体见以下代码。 % 方法1 [x,y,z] = dsolve('Dx=2*x-3*y+3*z+t','Dy=4*x-5*y+3*z+t','Dz=4*x-4*y+2*z+t','t') % 方法2 syms x(t) y(t) z(t) eqn1 = (diff(x,t) == 2*x-3*y+3*z+t); eqn2 = (diff(y,t) == 4*x-5*y+3*z+t); eqn3 = (diff(z,t) == 4*x-4*y+2*z+t); eqns = [eqn1 eqn2 eqn3]; [x,y,z] = dsolve(eqns) % x = exp(2*t)*(C2- (exp(-2*t)*(2*t + 1))/4) + C3*exp(-t) % y = exp(2*t)*(C2 - (exp(-2*t)*(2*t + 1))/4) + C3*exp(-t) + C4*exp(-2*t) % z = exp(2*t)*(C2 - (exp(-2*t)*(2*t + 1))/4) + C4*exp(-2*t)关于mupad工具包以及不手打公式的工具等 mupad % 最新版本matlab可能会报错，将计算结果复制到里面，使结果可读。 % 如果新版matlab用不了mupad的话，可以使用实时脚本（【新建】-【实时脚本】） simplify(y) % simplify函数可以简化表达式 latex(y) % 转换成latex代码，复制到Axmath或者word自带的公式编辑器 % 如果太过于复杂的话可能会报错，可以自己测试 关于导弹射击问题的matlab求解 % 假设 v=100 [x,y] = dsolve('Dx = 3*100*(20+sqrt(2)/2*100*t-x)/sqrt((20+sqrt(2)/2*100*t-x)^2+(sqrt(2)/2*100*t-y)^2)','Dy = 3*100*(sqrt(2)/2*100*t-y)/sqrt((20+sqrt(2)/2*100*t-x)^2+(sqrt(2)/2*100*t-y)^2)','x(0)=0,y(0)=0','t') % 警告: Explicit solution could not be found. 不能找到显示解此题无法使用求解析解的方法求解。 关于Matlab求解析解的几点注意 自变量需要指定，当不指定时默认为t初始条件不给时，算出来的是通解可以用向量的方式保存微分方程组并求解如果微分方程形式较为复杂，那么很大可能是得不到解析解的，则需要求数值解 |
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