专题的前两篇文章（ [ MATLAB ] 傅里叶变换（二）：傅里叶级数（复指数表示）），我们讨论了连续周期信号傅里叶级数的两种表示形式，初步建立了频谱的概念。然而，就实际经验而言，非周期信号才是主流。因此，这篇文章将讨论非周期连续信号的谱密度（通常简称为频谱），即大名鼎鼎的傅里叶变换FT，并用Matlab仿真加强理解。

首先，我们借助傅里叶级数 → \to →傅里叶变换的过程，回顾一下傅里叶变换的基本数学知识。

若 x ( t ) x(t) x(t)是周期连续信号，周期为 T T T，模拟角频率 Ω 0 = 2 π T \Omega_0 = \frac{{2\pi }}{T} Ω0​=T2π​，则 x ( t ) x(t) x(t)的傅里叶级数为： 正变换 : X ( j k Ω 0 ) = 1 T ∫ 0 T x ( t ) e − j k Ω 0 t d t 正变换: X\left( {jk{\Omega _0}} \right) = \frac{1}{T}\int\limits_0^T {x\left( t \right){e^{ - jk{\Omega _0}t}}dt} 正变换:X(jkΩ0​)=T1​0∫T​x(t)e−jkΩ0​tdt 反变换 : x ( t ) = ∑ k = − ∞ ∞ X ( j k Ω 0 ) e j k Ω 0 t 反变换:x\left( t \right) = \sum\limits_{k = - \infty }^\infty {X\left( {jk{\Omega _0}} \right){e^{jk{\Omega _0}t}}} 反变换:x(t)=k=−∞∑∞​X(jkΩ0​)ejkΩ0​t 现在考虑 x ( t ) x(t) x(t)为非周期信号，即 T → ∞ T \to \infty T→∞，此时 Ω 0 → 0 \Omega_0\to0 Ω0​→0， Ω 0 \Omega_0 Ω0​可视作相邻谱线的频率间隔 ( k + 1 ) Ω o − k Ω 0 (k+1)\Omega_o-k\Omega_0 (k+1)Ωo​−kΩ0​，因此， k Ω o = Ω k\Omega_o=\Omega kΩo​=Ω，代入正变换可得 X ( j Ω ) ′ = 1 T ∫ − ∞ ∞ x ( t ) e − j Ω t d t X\left( {j\Omega } \right)' = \frac{1}{T}\int\limits_{ - \infty }^\infty {x\left( t \right){e^{ - j\Omega t}}dt} X(jΩ)′=T1​−∞∫∞​x(t)e−jΩtdt 显然， X ( j Ω ) ′ X\left( {j\Omega} \right)' X(jΩ)′是一个无穷小量，即 x ( t ) x(t) x(t)的频率分量振幅无穷小。但是，无穷小之间仍然有相对大小。令 X ( j Ω ) = T X ( j Ω ) ′ = ∫ − ∞ ∞ x ( t ) e − j Ω t d t X\left( {j\Omega} \right)=TX\left( {j\Omega} \right)'= \int\limits_{ - \infty }^\infty {x\left( t \right){e^{ - j\Omega t}}dt} X(jΩ)=TX(jΩ)′=−∞∫∞​x(t)e−jΩtdt X ( j Ω ) X\left( {j\Omega} \right) X(jΩ)即为频率分量的相对大小，称其为 x ( t ) x(t) x(t)的频谱密度（通常简称为频谱）。上式同样被称为FT的正变换，给出完整的FT正反变换表达式： 正变换 : X ( j Ω ) = ∫ − ∞ ∞ x ( t ) e − j Ω t d t 正变换:X\left( {j\Omega } \right) = \int\limits_{ - \infty }^\infty {x\left( t \right){e^{ - j\Omega t}}dt} 正变换:X(jΩ)=−∞∫∞​x(t)e−jΩtdt

反变换 : x ( t ) = 1 2 π ∫ − ∞ ∞ X ( j Ω ) e j Ω t d Ω 反变换:x\left( t \right) = \frac{1}{{2\pi }}\int\limits_{ - \infty }^\infty {X\left( {j\Omega } \right){e^{j\Omega t}}d\Omega } 反变换:x(t)=2π1​−∞∫∞​X(jΩ)ejΩtdΩ 这一小节，从数学角度简单分析了FT的由来。相信很多铁子们仍然对谱密度这个概念有些困惑，这将在下面的Matlab仿真中进行梳理验证。

这里算是开胃小菜，我们用Matlab仿真两个非周期信号的傅里叶变换。

（1）连续时间信号 x ( t ) = t e − ∣ t ∣ x\left( t \right) = t{e^{ - \left| t \right|}} x(t)=te−∣t∣，求出其频谱并绘制幅度谱；

（2）某信号的频谱表达式为 X ( j Ω ) = π e − ∣ Ω ∣ X\left( {j\Omega } \right) = \pi {e^{ - \left| \Omega \right|}} X(jΩ)=πe−∣Ω∣ ，求出其时域表达式并绘制图像；

前面的公式推导可以看出，单个频率分量对应的幅值趋近于0，并且频率分量数量趋近于无穷，因此我们用傅里叶变换得到的是谱密度。

谱密度完全可以类比于物理中的密度。举例说明，想象有一块石头，我们很容易算出他的密度是多少，但是我们取石头上非常非常小的一块，它的质量趋于0，它的体积也趋于0。这时就要引出密度的概念了，无穷小的质量/无穷小的体积得到的常数，就是这一小块的密度了。

现在，我们想知道石头中某一小块的质量，即便这一小块体积非常非常小，还是需要测量某一体积的石头对应的质量。因此，如果需要获得某一频率分量对应的幅值，必须要用该分量的谱密度值乘以采样频率区间宽度。采样频率区间宽度类比于某一小块石头的体积，分量幅值类比于质量，谱密度类比于密度。 下面的仿真中，假设矩形脉冲信号的谱密度已知；用分量的谱密度值乘以采样频率区间宽度，得到分量的幅值；最后叠加所有分量，还原矩形脉冲信号。

step 2 计算频谱值并乘以频率区间，从而得出分量幅值，叠加近似

随着我们采样的频率范围越大，采样数量（分量数量）越多，叠加得到的信号愈发逼近原始的矩形脉冲信号，验证成功。从上面仿真中，我们也可以发现，谱密度也可以理解为权重，即谱密度越大，乘以相同采样间隔后，得到的分量幅值也就越大。

创作不易，希望铁子们可以给出宝贵的建议，这将是我这个小菜猫不断前进的动力，谢谢！