昨日好友突然问我一个关于信号相关的问题—— 常数 1 1 1（或者说时域信号 x （ t ） = 1 x（t）= 1 x（t）=1）用傅里叶变换后在频域中的表示为 δ ( t ) \delta(t) δ(t) 中的 2 π 2\pi 2π 从何而来（如下） 。问题不难，这是一个关于信号与系统中的最基础的问题，但是这个问题在网络上面都没有正确且详细的证明。

δ ( t ) ⟷ 1 \delta(t) \longleftrightarrow 1 δ(t)⟷1 1 ⟷ 2 π δ ( ω ) 1 \longleftrightarrow 2\pi\delta (\omega) 1⟷2πδ(ω)

首先来看一下傅里叶变换的正反两个公式 X ( ω ) = ∫ − ∞ + ∞ x ( t ) e − j ω t   d t X(\omega) = \int_{-\infty}^{+\infty} {x(t)e^{-j\omega t}} \,{\rm d}t X(ω)=∫−∞+∞​x(t)e−jωtdt x ( t ) = 1 2 π ∫ − ∞ + ∞ X ( ω ) e j ω t   d ω x(t) = \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty} {X(\omega) e^{j\omega t}} \,{\rm d}\omega x(t)=2π1​∫−∞+∞​X(ω)ejωtdω

将 δ ( t ) \delta(t) δ(t) 带入正变换公式， X ( ω ) = ∫ − ∞ + ∞ δ ( t ) e − j ω t   d t = 1 X(\omega) = \int_{-\infty}^{+\infty} {\delta(t)e^{-j\omega t}} \,{\rm d}t=1 X(ω)=∫−∞+∞​δ(t)e−jωtdt=1 由delta函数的特性可以得到 δ ( t ) \delta(t) δ(t)只有在 t = 0 t=0 t=0的时候才有取值，故令 t = 0 t=0 t=0,可得傅里叶变换结果为1.

再看其反变换

x ( t ) = 1 2 π ∫ − ∞ + ∞ e j ω t   d ω x(t) = \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty} {e^{j\omega t}} \,{\rm d}\omega x(t)=2π1​∫−∞+∞​ejωtdω 该式子并不能直接求解并不能完全像以前一样进行微分、积分运算（为广义积分）。（由于正负无穷的上下限） 又因为同样的原因，从时域上的1到频域进行傅里叶变换也不行但是 从频域的delta函数到时域却行得通。

不妨用字母W来表示 ∞ \infty ∞,这个也把时域的（信号的函数）图像具象化为了总长度为2W，中点在原点的矩形，当W趋于无穷时，图像为一条平行于时间轴的直线， x ( t ) = 1 2 π ∫ − W W e j ω t   d ω x(t) = \frac{1}{2\pi}\int_{-W}^{W} {e^{j\omega t}} \,{\rm d}\omega x(t)=2π1​∫−WW​ejωtdω x ( t ) = 1 2 π ∫ − W W e j ω t   d ω = s i n W t π t x(t)=\frac{1}{2\pi}\int_{-W}^{W} {e^{j\omega t}} \,{\rm d}\omega=\frac{sinWt}{\pi t} x(t)=2π1​∫−WW​ejωtdω=πtsinWt​ 这个函数（被称为抽样函数）好像我们仍然不能解答，那就回到delta函数的原始定义中去 δ ( t ) = lim ⁡ k → + ∞ k π S a ( k t ) = lim ⁡ k → + ∞ s i n ( k t ) π t \delta(t)=\lim_{k \to +\infty} \frac{k}{\pi}Sa(kt)=\lim_{k \to +\infty} \frac{sin(kt)}{\pi t} δ(t)=k→+∞lim​πk​Sa(kt)=k→+∞lim​πtsin(kt)​ 当k=W，结果恰好为预期的 δ ( t ) \delta(t) δ(t) 。 同理，从时域上的 常量信号1傅里叶变换到频域也会遇到类似问题，用一样的方法解决。

除了这样直接求解还可以用傅里叶变换的对称性对 1 ⟷ 2 π δ ( ω ) 1 \longleftrightarrow 2\pi\delta (\omega) 1⟷2πδ(ω) 进行正向的求解 若已知 f ( t ) ⟷ F ( ω ) f(t) \longleftrightarrow F (\omega) f(t)⟷F(ω) 则 F （ t ） ⟷ 2 π f ( − ω ) F（t） \longleftrightarrow 2\pi f (-\omega) F（t）⟷2πf(−ω) 证明如下， 已知 F ( ω ) = ∫ − ∞ + ∞ f ( t ) e − j ω t   d t F(\omega) = \int_{-\infty}^{+\infty} {f(t)e^{-j\omega t}} \,{\rm d}t F(ω)=∫−∞+∞​f(t)e−jωtdt f ( t ) = 1 2 π ∫ − ∞ + ∞ F ( ω ) e j ω t   d ω f(t) = \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty} {F(\omega) e^{j\omega t}} \,{\rm d}\omega f(t)=2π1​∫−∞+∞​F(ω)ejωtdω f ( − t ) = 1 2 π ∫ − ∞ + ∞ F ( ω ) e − j ω t   d ω f(-t) = \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty} {F(\omega) e^{-j\omega t}} \,{\rm d}\omega f(−t)=2π1​∫−∞+∞​F(ω)e−jωtdω 将 t 和 ω \omega ω变量互换 f ( − ω ) = 1 2 π ∫ − ∞ + ∞ F ( t ) e − j ω t   d t f(-\omega) = \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty} {F(t) e^{-j\omega t}} \,{\rm d}t f(−ω)=2π1​∫−∞+∞​F(t)e−jωtdt 所以 F （ t ） ⟷ 2 π f ( − ω ) F（t） \longleftrightarrow 2\pi f (-\omega) F（t）⟷2πf(−ω) 对于delta函数的具体运算就省略吧，代入就能解决。