【广义特征值问题】设 A = ( a i j ) ∈ R n × n A=(a_{ij})\in \mathbb{R}^{n\times n} A=(aij​)∈Rn×n是 n n n阶实对称矩阵， B = ( b i j ) ∈ R n × n B=(b_{ij})\in \mathbb{R}^{n\times n} B=(bij​)∈Rn×n是 n n n阶实对称正定矩阵，使下式 A x = λ B x \mathbf{Ax=\lambda Bx} Ax=λBx 有非零解向量 x ∈ R n x\in \mathbb{R}^{n} x∈Rn，则称 λ \lambda λ是矩阵 A A A相对于矩阵 B B B的特征值，且 x x x是属于 λ \lambda λ的特征向量。该问题常见于振动理论。

我们可以发现

在想办法求解广义特征值问题前，我们需要先知道我们会做什么问题？首先，我们会做形如 A x = λ x Ax=\lambda x Ax=λx的普通特征值问题，如使用特征方程 det ⁡ ( λ I − A ) = 0 \det(\lambda I-A)=0 det(λI−A)=0求解特征值，使用 ( A − λ I ) x = 0 (A-\lambda I)x=0 (A−λI)x=0通过求其零空间得到特征向量 x x x，对于实对称矩阵 A A A，我们还能得到任意特征值 λ i ≥ 0 \lambda_i\ge 0 λi​≥0的特性，以及通过瑞利商理论得到当 x H x = I x^Hx=I xHx=I时有 λ = x H A x \lambda=x^HAx λ=xHAx。

因此，面对一个和普通特征值相关的新问题，我们可以尝试将不会做的问题转化为会做的问题。因此我们常将广义特征值问题转化为普通特征值问题，然后再利用普通特征值已成熟的求解方法，从而得到广义特征值问题的解向量。

本文就广义特征值问题做以梳理，完整定理证明请参考西工大的《矩阵论》[1]。

我们将等式两端分别左乘 B − 1 B^{-1} B−1得到如下式子，可见虽然 B − 1 , A B^{-1},A B−1,A都是对称矩阵，但 B − 1 A B^{-1}A B−1A一般不再是对称矩阵

B − 1 A x = λ x B^{-1}Ax=\lambda x B−1Ax=λx

我们将矩阵 B B B进行 Cholesky \text{Cholesky} Cholesky分解(平方根分解)得到下式 (其中 G G G是下三角矩阵) B = G G T B=GG^T B=GGT 因此有 A x = λ G G T x ⇒ G − 1 A x = λ G T x ⇒ G − 1 A [ ( G T ) − 1 G T ] x = λ G T x ⇒ [ G − 1 A ( G − 1 ) T ] ( G T x ) = λ ( G T x ) \begin{aligned} &Ax=\lambda GG^Tx\\ \Rightarrow & G^{-1}Ax =\lambda G^Tx \\ \Rightarrow & G^{-1}A[(G^T)^{-1}G^T]x =\lambda G^Tx \\ \Rightarrow & [G^{-1}A(G^{-1})^T](G^Tx) =\lambda (G^Tx) \\ \end{aligned} ⇒⇒⇒​Ax=λGGTxG−1Ax=λGTxG−1A[(GT)−1GT]x=λGTx[G−1A(G−1)T](GTx)=λ(GTx)​ 我们令 { S = G − 1 A ( G − 1 ) T y = G T x \begin{cases} S=G^{-1}A(G^{-1})^T \\ y=G^Tx \end{cases} {S=G−1A(G−1)Ty=GTx​ 其中 S S S是实对称矩阵，我们将 A A A的广义特征值问题转化为如下矩阵 S S S的普通特征值问题 S y = λ y Sy=\lambda y Sy=λy

由于第2个等价形式的矩阵 S S S是实对称矩阵，因此其特征值均是实数，且存在完备的标准正交特征向量系满足 y i T y j = { 0 ,    i ≠ j 1 ,    i = j y_i^Ty_j = \begin{cases} 0,\; i\not= j \\ 1,\; i= j \end{cases} yiT​yj​={0,i​=j1,i=j​ 由于 y i T y j = ( G T x i ) T G T x i = x i T G G T x i = x i T B x i y_i^Ty_j =(G^Tx_i)^TG^Tx_i=x_i^TGG^Tx_i=x_i^TBx_i yiT​yj​=(GTxi​)TGTxi​=xiT​GGTxi​=xiT​Bxi​ 因此，有 x = ( x 1 , . . . , x n ) T x=(x_1,...,x_n)^T x=(x1​,...,xn​)T满足下式，其中 x x x称为按 B B B标准正交化向量系，下式称为 B B B正交条件 x i T B x i = { 0 ,    i ≠ j 1 ,    i = j x_i^TBx_i = \begin{cases} 0,\; i\not= j \\ 1,\; i= j \end{cases} xiT​Bxi​={0,i​=j1,i=j​ 所以，按 B B B标准正交化向量系 x x x具有如下重要性质

程云鹏, 凯院, 仲. 矩阵论[M]. 西北工业大学出版社, 2006.