1 什么是曲线拟合

通俗地说，科学和工程实验中获得了若干离散的数据点，我们往往希望得到一个具体的解析函数（也就是曲线）来匹配这些离散的数据点，该过程就叫做“曲线拟合”，而得到的曲线方程就称为“拟合函数”。

值得注意的是，在曲线拟合之前，我们并不是完全不知道拟合函数的具体解析式，而只是不知道解析式中的一些参数值取多少而已。曲线拟合是确定参数值的过程。

2 拟合原理——L-M迭代算法和最小二乘法

2.1 L-M（Levenberg-Marquardt）迭代算法

首先，程序会在初始参数值k0上增加一个试探增量，之后马上生成一条函数曲线（如图k0旁边的红色划线所示）并评估这条曲线是否比原来的曲线（如图k0值时的曲线）更加贴合离散的数据点了。如果是，说明参数增量方向是正确的，于是程序进行第1步迭代，在初始参数值上增加10倍的试探增量，之后即生成第1步迭代的函数曲线（如图k1值时的曲线）；

然后，程序会在参数值取k1的基础上再次增加一个试探增量，并判断参数值增加之后的函数曲线（如图k1旁边的红色划线所示）是否比原来的曲线（如图k1值时的曲线）更加贴合数据点，结果确实是这样。于是程序进行第2步迭代，在参数值取k1的基础上增加10倍的试探增量，之后即生成第2步迭代的函数曲线（如图k2值时的曲线）；

而当程序在参数值取k2的基础上再一次增加一个试探增量后，它发现新的函数曲线比原来k2值时函数曲线更加偏离数据点（如图k2旁边的蓝色划线所示）。于是它马上知道参数的增量方向可能错了，正确的方向是参数值取k2的基础上减去一个小量。通过判断减去小量后的新函数曲线确实比k2值时函数曲线更加贴合数据点（如图k2旁边的红色划线所示）。程序进行第3步迭代，在参数值取k2的基础上增加10倍的试探增量，生成第3步迭代的函数曲线（如图k3值时的曲线）；

在第4步试探上，程序遇到了和上一步相同的问题。左右两边各试探了1次之后，程序确定了正确的参数值增量方向，并得到参数值取k4时的函数曲线。

这个过程将持续的进行下去。每一步生成新的函数曲线将逐步逼近数据点，直到当前步的参数值与上一步的参数值之差可以忽略不计时，程序即认为参数值达到了最优，于是我们得到了参数值最优的拟合函数解析式。

以上就是L-M（Levenberg-Marquardt）迭代算法的基本过程。

2.2 最小二乘法

L-M迭代算法的每一个试探步骤都需要评估参数值增量方向是否正确，或者说是否更加贴近离散的数据点。程序无法用眼睛去看到这种“贴近”，它只能判断离散点（观测值）与拟合曲线（拟合函数值）之间的“差距”来间接评估是否更加“贴近”。这种差距可以用点到曲线的纵坐标之差来评估，即：

对多有的数据点求和就可以评估是否“贴近”了。这里值得注意的是，离散点（观测值）与拟合曲线（拟合函数值）之间的“差距”是用纵坐标之差的平方量化的，当这个量变小时，程序就会认为参数的增量方向是正确的。由于迭代过程中参数的变化总是使这个量逐渐减小（见图所示），因此参数取最优值时，这个量是取最小的。因此被称为“最小二乘法”。

3 拟合操作——几种典型的曲线拟合案例

3.1 通用拟合案例

3.2 自定义曲面拟合

3.3 积分变限函数

3.4 复函数拟合

3.5 分段函数拟合

3.6 隐函数拟合

4 问题总结——为什么你总是拟合失败

4.1 不适合的初始参数值

绝大多数拟合失败的原因是不适合的参数初始值。如下图所示，在参数空间内，当初始值取左边的k0时，L-M迭代算法及最小二乘法将逐步优化k值到全局的最优值k4处；然而当初始值取右边的k’0时，k值将只能稳定到局部最优的k’3处，而非全局的最优值。因此初值的选择是非常关键的。

在实际拟合中，参数初始值的获取一般通过文献的建议值给出。拟合函数一般不是自创的，绝大部分情况下都是参照文献中的公式或者依据文献中的公式修改得到的。相应的文献一般都会给出具体的最优参数值，这个参数值即可作为参数初始值。

值得注意的是，拟合公式中物理量的单位和参数值的单位必须保持一致。比如一些公式中的角度参数变量是弧度，而实际参数初始值的单位却是角度，这必然不行。这类问题，笔者在多个粉丝咨询的问题中均有遇到。

4.2 不适合的拟合函数

不适合的拟合函数必然导致拟合质量很差。那么问题来了，如何知道拟合函数是否和自己的实验数据匹配呢？一个简单的方法是参照参考文献中的拟合曲线，若自己实验数据和参考文献中的拟合曲线“长的差不多”即值域，定义域，单调性，拐点等相似，那么可以初步判断当前的拟合函数是适合的。若不相似，那么很可能当前的拟合函数是有问题的。

4.3 参数关联

存在一些拟合函数，我们以下方的例子做简单说明。观测值用拟合函数

拟合，a, b, c 均为待拟合参数。当拟合函数方程取y=6x−5是可以完美匹配观测值。然而满足这一条件的 a, b, c 取值却是多种多样的，比如 a=2,b=3,c=−5/2 ，以及 a=3,b=2,c=−5/3 。事实上，能满足 ab=6,ac=−5 这两个等式的任意 a , b , c 取值均可得到最优拟合。这两个等式存在三个未知量，三个未知量之间存在关联，即参数关联。

值得指出的是，参数关联并不影响拟合质量。无论用哪组参数取值，均可以得到质量相同的拟合效果。但是参数关联时，参数的误差棒将变得非常大。此时我们只需固定其中的一个参数值到合理值即可。