在上一篇文章中，我们讨论了如何对拟合的模型质量进行评判。（详情请见：【统计学习系列】多元线性回归模型（六）——模型拟合质量评判：拟合优度）。

当模型已经被拟合好，并且拟合优度也达到了预期，我们就可以进一步使用这一模型来进行样本外预测啦！在这一篇文章中，我们来看一看如何应用拟合好的模型来进行样本外预测吧~

首先，先给出总体模型的表达式：

y 0 = x 0 T β + ϵ 0 y_0 = \bm{x}_0^T \bm\beta + \epsilon_0 y0​=x0T​β+ϵ0​ 其中：x0 为样本外解释变量的样本值（已给定）； y0 为待预测被解释变量的真值； β 为模型参数向量； ϵ0 ~ N(0, σ2)为模型误差项。

基于OLS回归，我们已经得到了模型参数 β 的估计量 β^： β ^ = ( X T X ) − 1 X T y \bm{\hat\beta} = ( \bm{X}^T \bm{X} )^{-1} \bm{X}^T \bm{y} β^​=(XTX)−1XTy 因此，在给定一组新的输入变量（样本外变量）x0 的情况下，由模型给出的 y0 的预测值 y^0 有： y ^ 0 = x 0 T β ^ \hat{y}_0 = \bm{x}_0^T \bm{\hat{\beta}} y^​0​=x0T​β^​ 容易验证，y^0 是 E(y0) 的无偏估计量：

E [ y ^ 0 ] = E [ x 0 T β ^ ] = x 0 T ⋅ E [ β ^ ] = x 0 T β = E [ y 0 ] E[\hat{y}_0] = E[\bm{x}_0^T \bm{\hat\beta}] = \bm{x}_0^T \cdot E[ \bm{\hat\beta}] = \bm{x}_0^T \bm{\beta} = E[y_0] E[y^​0​]=E[x0T​β^​]=x0T​⋅E[β^​]=x0T​β=E[y0​]

若想要得到 y0 的区间估计量，我们首先需要知道 y0 所满足的分布。从模型的表达式中我们容易看出，y0 是误差项 ϵ0 的 线性变换（Linear Transmission），因此，在模型假设成立的前提下，y0 也应满足正态分布。又因为正态分布由期望和方差两个指标决定，因此我们只需要计算 y0 的期望和方差即可得到 y0 的分布。

在第二章中，我们已经得到了 y0 的期望值，下面就让我们来计算 y0 的方差。

var ( y 0 ) = var ( y ^ 0 + ϵ 0 ) = var ( y ^ 0 ) + var ( ϵ 0 ) \text{var}(y_0) = \text{var}(\hat{y}_0 + \epsilon_0) = \text{var}(\hat{y}_0) +\text{var}(\epsilon_0) var(y0​)=var(y^​0​+ϵ0​)=var(y^​0​)+var(ϵ0​)

而 var ( y ^ 0 ) = cov ( x 0 T β ^ , x 0 T β ^ ) \text{var}(\hat{y}_0) = \text{cov} ( \bm{x}_0^T \bm{\hat{\beta}} , \bm{x}_0^T \bm{\hat{\beta}} ) var(y^​