数字调制分为三步：

使用不同成形脉冲的效果不同： 使用矩形脉冲，则基带信号为不断变化的矩形电平，经过上变频后得到理想正弦波； 然而，实际中常使用升余弦滚降滤波器作为成形滤波器，时域基带信号更平滑（而非矩形电平），从而上变频后能够抑制带外泄露

下面先接收数字调制中遇到的两个问题，然后介绍「脉冲成形」是如何解决这两个问题的

带外泄露：信号超出了规定的工作频带，从而可能影响工作在相邻频段的系统； 另外，带宽过大时，经过带限信道后，信号也会变形，从而产生误码

解调时，对当前符号的判决不利的两个因素是「噪声」和「码间串扰ISI」，码间串扰ISI就是其他符号（的时域拖尾）对当前采样时刻的干扰

脉冲成形后，基带信号=时域上不同时刻的一系列脉冲信号的叠加，如果一个码元 / 脉冲 达到最大幅值时，其他所有码元幅值刚好为0，则在此时进行采样判决，码元直接不会相互影响，这就是无码间串扰

注意，下面分析等效复低通信号， I n I_n In​为复数， g ( t ) g(t) g(t)为复信号，并且 g ( t ) g(t) g(t)的持续时间不局限于一个符号周期内，而是有拖尾的（使用宽度 T s T_s Ts​的矩阵脉冲显然没有码间串扰问题，然而存在带外泄漏问题，后面将说明：使用有拖尾的特定波形，能同时解决ISI和带外泄漏问题）

基带信号是各个码元周期对应的脉冲成形波形的移位叠加（这里假设接收信号与发射信号相同）： r ( t ) = s ( t ) = ∑ n = − ∞ ∞ I n g ( t − n T s ) r(t)=s(t)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}I_ng(t-nT_s) r(t)=s(t)=n=−∞∑∞​In​g(t−nTs​)

解调时，对 r ( t ) r(t) r(t)做 T s T_s Ts​的等间隔采样（每个符号抽样判决一次），采样结果为 r ( n T s ) r(n T_{s}) r(nTs​)，那么无码间串扰，就是希望 r ( n T s ) = I n r(n T_{s})=I_n r(nTs​)=In​（也就是说，采样时不希望受到其他时刻符号值的影响）

系数 I n I_n In​只影响 r ( n T s ) r(n T_{s}) r(nTs​)的幅度，将其忽略，只关注脉冲成形函数 g ( t ) g(t) g(t)，那么无码间串扰就是 要求 g ( t ) g(t) g(t)在特殊位置的拖尾为0，即采样序列 g s ( t ) = g ( n T s ) = { 1 n = 0 0 n ≠ 0 = δ ( t ) g_s(t)=g\left(nT_{s}\right)=\left\{\begin{array}{ll}1 \quad n=0 \\0 \quad n \neq 0\end{array}\right.=\delta(t) gs​(t)=g(nTs​)={1n=00n​=0​=δ(t)（各符号的拖尾不影响其他符号在其他时刻的抽样判决）

进一步求解对 g s ( t ) g_s(t) gs​(t)的频谱 G s ( ω ) G_s(\omega) Gs​(ω)的约束条件

对 g ( t ) g(t) g(t)做 T s T_s Ts​的等间隔采样得到 g s ( t ) g_s(t) gs​(t)，对其表达式做傅立叶变换得到 G s ( ω ) G_s(\omega) Gs​(ω). g s ( t ) = g ( t ) ∑ n = − ∞ ∞ δ ( t − n T s ) = ∑ n = − ∞ ∞ g ( n T s ) δ ( t − n T s ) G s ( ω ) = 1 2 π G ( ω ) ∗ [ 2 π T s ∑ n = − ∞ ∞ δ ( ω − 2 π n T s ) ] = 1 T s ∑ n = − ∞ ∞ G ( ω − 2 π n T s ) g_{s}(t)=g(t) \sum_{n=-\infty}^{\infty} \delta(t-n T s)=\sum_{n=-\infty}^{\infty} g\left(n T_{s}\right) \delta(t-n T s)\\G_{s}(\omega)=\frac{1}{2\pi}G(\omega)*[\frac{2\pi}{T_s}\sum_{n=-\infty}^{\infty} \delta(\omega-\frac{2\pi n}{T_s})]=\frac{1}{T_s}\sum_{n=-\infty}^{\infty} G(\omega-\frac{2\pi n}{T_s}) gs​(t)=g(t)n=−∞∑∞​δ(t−nTs)=n=−∞∑∞​g(nTs​)δ(t−nTs)Gs​(ω)=2π1​G(ω)∗[Ts​2π​n=−∞∑∞​δ(ω−Ts​2πn​)]=Ts​1​n=−∞∑∞​G(ω−Ts​2πn​) 带入 g s ( t ) = g ( n T s ) = δ ( t ) g_s(t)=g\left(nT_{s}\right)=\delta(t) gs​(t)=g(nTs​)=δ(t)的要求，上面两式必须满足 g s ( t ) = ∑ n = − ∞ ∞ g ( n T s ) δ ( t − n T s ) = δ ( t ) G s ( ω ) = 1 T s ∑ n = − ∞ ∞ G ( ω − 2 π n T s ) = 1 （ 做 上 式 的 傅 里 叶 变 换 可 知 ） g_{s}(t)=\sum_{n=-\infty}^{\infty} g\left(n T_{s}\right) \delta(t-n T s)=\delta(t)\\G_{s}(\omega)=\frac{1}{T_s}\sum_{n=-\infty}^{\infty} G(\omega-\frac{2\pi n}{T_s})=1（做上式的傅里叶变换可知） gs​(t)=n=−∞∑∞​g(nTs​)δ(t−nTs)=δ(t)Gs​(ω)=Ts​1​n=−∞∑∞​G(ω−Ts​2πn​)=1（做上式的傅里叶变换可知）

这就是Nyquist准则：

要满足Nyquist准则，脉冲成形函数 g ( t ) g(t) g(t) / 基带信号 s ( t ) s(t) s(t)的的最小带宽为 B 0 ≥ 1 2 T s = R s 2 B_0\geq \frac{1}{2T_s}=\frac{R_s}{2} B0​≥2Ts​1​=2Rs​​（或者说最小数字频率 2 π B 0 ≥ π T s 2\pi B_0\geq \frac{\pi}{T_s} 2πB0​≥Ts​π​） 注意，这里的带宽 B 0 B_0 B0​是理想低通信道的带宽 或者等价的说，带通信道的Nyquist带宽为 B 0 ≥ R s B_0\geq R_s B0​≥Rs​

实际中，OFDM信号就达到带通信道的奈奎斯特带宽，理论上最节约信道资源 虽然实际上基带信道带宽略大于 R s 2 \frac{R_s}{2} 2Rs​​，但是相邻频带重叠，利用子载波正交性总体上仍没有重叠，即等效于到达了最小的奈奎斯特带宽，实现理论最大频带利用率

在Nyquist准则的基础上，我们又得到了奈奎斯特带宽、奈奎斯特速率的概念

信道容量：在信道中进行无差错传输可达的最大信息速率

解调时，对当前符号的判决不利的是「噪声」和「码间串扰ISI」，在不同信道情况下，计算信道容量的方式不同。下面可以看出，「码间串扰ISI」是信道容量永远无法摆脱的内在束缚，而「噪声」的存在进一步减小了信道容量

奈奎斯特准则的理论，延伸出奈奎斯特带宽和奈奎斯特速率两个概念（下面的 B B B是理想的低通信道的带宽） 奈奎斯特带宽：固定了符号速率 R s = 1 T s R_s=\frac{1}{T_s} Rs​=Ts​1​，则在无噪信道无ISI（无差错）传输所需的最小带宽 B ≥ R s 2 B\geq \frac{R_s}{2} B≥2Rs​​ 奈奎斯特速率：固定了带宽 B B B，那么在无噪信道无ISI（无差错）传输能达到的最大符号速率为 R s ≤ 2 B R_s\leq2B Rs​≤2B 根据奈奎斯特速率，无噪信道容量： C = 2 B l o g 2 M ( b p s ) C=2Blog_2M(bps) C=2Blog2​M(bps)，其中 M M M为一个码元可能对应的离散值个数

有噪信道容量： C = 2 B l o g 2 ( 1 + S N R ) C=2Blog_2(1+SNR) C=2Blog2​(1+SNR)，其中 M M M为一个码元可能对应的离散值个数

想要在信道中真正传输数字信号（如01比特），必须将它们转化为一定的电路波形 / 脉冲信号，称为脉冲成形； 脉冲成形，具体实现方法就是冲激信号经过基带滤波器 g ( t ) g(t) g(t)（一个滤波器），得到时域脉冲波形，下面讨论什么样的 g ( t ) g(t) g(t)是合适的

结论：

具体分析如下：

最容易想到的脉冲就是矩形脉冲，我们直接用其高低电平来对应数字信号，然而脉冲信号的频谱有无限的带宽： F [ r e c t ( t τ ) ] = τ s i n c ( τ f ) \mathscr F[rect(\frac{t}{\tau})]=\tau sinc(\tau f) F[rect(τt​)]=τsinc(τf) 实际信道带宽有限，这样就会导致传输后信号频谱变形，时域信号失真，很容易误判 或者说，带外功率的衰减慢，带外泄露强

如图，发送端的理想矩形脉冲，经过信道后信号失真（频域上低通，时域上平滑），从而误判

可见，矩形脉冲在频域上带宽无限，经过带限信道很容易失真，这就是为什么要控制带外泄露 接下来尝试选择其他更合适的脉冲成形滤波器

前置知识补充 根据尺度变换性质 F [ x ( α t ) ] = 1 ∣ α ∣ X ( ω α ) \mathscr{F}[x(\alpha t)]=\frac{1}{|\alpha|}X(\frac{\omega}{\alpha}) F[x(αt)]=∣α∣1​X(αω​)，尺度变换因子 α \alpha α对时域和频域的作用是相反的：

既然需要有限宽的频谱来减少带外泄露，则根据傅里叶变换的对偶性，我们想到 F [ s i n c ( τ t ) ] = 1 τ r e c t ( f τ ) , 其 中 τ = 2 B \mathscr F[sinc(\tau t)]=\frac{1}{\tau}rect(\frac{f}{\tau}),其中\tau=2B F[sinc(τt)]=τ1​rect(τf​),其中τ=2B 左侧为sinc信号时域波形，右侧为频谱（就是一个理想LPF） 使用sinc作为脉冲信号，优点如下：

如图，如果一个码元 / 脉冲 达到最大幅值时，其他所有码元幅值刚好为0，在此时进行采样判决，码元直接不会相互影响，这就是无码间串扰

sinc函数实现了Nyquist准则要求的最小带宽 R s / 2 R_s/2 Rs​/2，并且无码间干扰ISI，但问题在于

sinc脉冲成形对应的基带滤波器是理想LPF，是不可能实现的

理想的LPF是非因果滤波器（冲激响应在时域上有无限长的拖尾，当前输出取决于未来输入），想要实现必须将系统冲激响应的拖尾截断并做延时（将一段时间的输入缓存下来），转化为因果系统； 并且，截断位置和延时取决于 信号何时衰减至可以被忽略，信号衰减越快，可以使用越小的截断范围和延时

衰减速度慢还带来其他缺点：拖尾衰减速度慢，且拖尾振荡幅度大，因此一旦出现定时偏差/采样时刻偏离，将导致严重码间串扰（有定时偏差，不能保证当前码元抽样时刻“对齐”了其余码元取值为0的位置，从而由于拖尾引起码间串扰**） 也就是说，拖尾衰减慢，则要求采样精度更高

综上，sinc函数作为脉冲成形函数，理论上可行，实际上仍需改进（希望加快衰减速度）

sinc脉冲成形函数的缺点是时域拖尾长，但频谱是理想LPF，无法实现； 由于频域信号的跳变引起时域的扩展，可以采用频谱更平滑的脉冲成形滤波器，从而时域拖尾衰减更快——此即升余弦滚降滤波器 实际应用中，使用「升余弦滚降滤波器RC」来逼近理想的LPF，并且能够控制脉冲的拖尾衰减速度 升余弦滚降滤波器RC可以加速信号拖尾的衰减，代价是频带的展宽

如右图，升余弦滚降滤波器RC一般有过渡带，且过渡带就是把余弦函数的一个周期升高了1，故称"升余弦" g ( t ) = sinc ⁡ ( t T s ) cos ⁡ ( π α t / T s ) 1 − ( 2 α t / T s ) 2 G ( ω ) = { T s ∣ ω ∣ ⩽ ∣ 1 − α ∣ 2 π B 0 T s 2 [ 1 + cos ⁡ ∣ ω ∣ − ( 1 − α ) 2 π B 0 4 α B 0 ] ∣ 1 − α ∣ 2 π B 0 < ∣ ω ∣ ⩽ ∣ 1 + α ∣ 2 π B 0 0 ∣ ω ∣ > ∣ 1 + α ∣ 2 π B 0 g(t)=\operatorname{sinc}\left(\frac{t}{T_{s}}\right) \frac{\cos \left(\pi \alpha t / T_{s}\right)}{1-\left(2 \alpha t / T_{s}\right)^{2}}\quad G(\omega)=\left\{\begin{array}{ll} T_{s} & |\omega| \leqslant|1-\alpha| 2 \pi B_{0} \\ \frac{T_{s}}{2}\left[1+\cos \frac{|\omega|-(1-\alpha) 2 \pi B_{0}}{4 \alpha B_{0}}\right] & |1-\alpha| 2 \pi B_{0}|1+\alpha| 2 \pi B_{0} \end{array}\right. g(t)=sinc(Ts​t​)1−(2αt/Ts​)2cos(παt/Ts​)​G(ω)=⎩⎪⎨⎪⎧​Ts​2Ts​​[1+cos4αB0​∣ω∣−(1−α)2πB0​​]0​∣ω∣⩽∣1−α∣2πB0​∣1−α∣2πB0​∣1+α∣2πB0​​

升余弦滚降滤波器的关键参数是 滚降系数 α \alpha α，满足 0 ≤ α ≤ 1 0\leq\alpha\leq1 0≤α≤1 如图，升余弦滚降滤波器RC的频率响应是平缓的（因此相比于理想LPF可实现性更强），过渡带中心为 f 0 = B = R s 2 = 1 2 T s f_0=B=\frac{R_s}{2}=\frac{1}{2T_s} f0​=B=2Rs​​=2Ts​1​

下面证明：为了无码间串扰，升余弦滚降滤波器RC的过渡带中心必须取 f 0 = R s / 2 f_0=R_s/2 f0​=Rs​/2，进而时域脉冲信号带宽 ( 1 + α ) R s / 2 (1+\alpha)R_s/2 (1+α)Rs​/2；

要满足无码间串扰：

从两个角度分析，得到的结果是统一的

对比两种成形脉冲：

最终，采样升余弦滚降滤波器作为基带滤波器，进行脉冲成形，得到的时域波形如下： 可见，在每个抽样点处，当前码元的幅值达到最大，而其余码元在该点幅值为0，从而无码间串扰，能够正确判决

眼图是评价实际系统的码间串扰情况的工具，示波器叠加显示基带信号的波形，波形如同眼睛，称为眼图

理论上当前码元的波形受其余所有码元的拖尾影响，但最主要的影响来自前后两个码元，因此我们只关注连续三个码元的时域叠加波形即可：三个码元所有可能取值为 000 、 001 、 010 、 011 、 100 、 101 、 110 、 111 000、001、010、011、100、101、110、111 000、001、010、011、100、101、110、111

和上面的图片同理，上图中 000 000 000三个码元的合成波形为（码元 0 0 0对应的是正脉冲） 001 001 001三个码元的合成波形为 010 010 010三个码元的合成波形为

由此类推，所有可能的连续三个码元的时域波形叠加，得到了眼图

眼图能显示噪声和码间串扰的影响