懂不懂拉式中值，在解极限的时候，是两重境界。用一个例题来体会，自行感受。

题目： lim ⁡ x → 0 c o s ( s i n x ) − c o s x x 4 \lim_{x \rightarrow 0}{\frac{cos(sinx)-cosx}{x^{4}}} limx→0​x4cos(sinx)−cosx​ 当你不会拉式中值的时候，你的解答如下：

可见不用拉式中值的解答，又臭又长！

但是当你会拉式中值时，你的解答是这样： 运用拉式中值解决极限 三步解决问题它不香么？别人还在写的时候，我的结果都已经口算出来了！ 那么这种化劲是怎么练出来的？学长就带你研究！！！

1.这个公式是什么(本质)； 2.这个公式什么时候用； 3.这个公式怎么用。

首先回归定理：

f ( x 1 ) − f ( x 2 ) = f ′ ( ξ ) ( x 1 − x 2 ) f(x_{1})-f(x_{2})=f'(\xi)(x_{1}-x_{2}) f(x1​)−f(x2​)=f′(ξ)(x1​−x2​)，其中 ξ \xi ξ介于 x 1 x_{1} x1​与 x 2 x_{2} x2​之间 上式 x 1 、 x 2 x_{1}、x_{2} x1​、x2​ 是个数，如果推广为函数呢？ f [ g ( x ) ] − f [ h ( x ) ] = f ′ ( ξ ) [ g ( x ) − h ( x ) ] f[g(x)]-f[h(x)]=f'(\xi)[g(x)-h(x)] f[g(x)]−f[h(x)]=f′(ξ)[g(x)−h(x)]，其中 ξ \xi ξ介于 g ( x ) g(x) g(x)与 h ( x ) h(x) h(x)之间 这就是上面应用拉氏中值求极限的核心：两个复合函数作差变成了内层函数作差，这就相当于将原来的两个复合函数的皮(外层函数f相当于皮)给剥掉了。这样的话，就能起到化繁为简的目的，这就是拉氏中值。

公式中有两处细节：a.复合函数作差；b.外层函数一致。所以，满足这两个条件，就可以马上掏出拉氏中值试一试。

数学做题的过程就是化繁为简，变未知到已知的过程。我们还是从第一点拉氏中值的本质入手，观察下这个式子：

我们最终是通过拉氏中值转化到右边的式子，如果右边的式子可以求出来，那么我们的工作就完成了，拉氏中值也完成了它得使命。但是可不可以求出来呢？我们观察一下：右边式子中 f ′ ( x ) , g ( x ) , h ( x ) f'(x),g(x),h(x) f′(x),g(x),h(x) 都是可以找出来或者求出来，而参数 ξ \xi ξ却让人为难，我们只知道参数 ξ \xi ξ的一个范围，但是具体是多少不一定清楚。所以这里就是一个关键问题，也是衡量拉氏中值能不能顺利做下去的命门：参数搞不搞的定！ 那么参数如何搞定呢？一般有两个思路：a.夹逼定理；b.等价于某个关于x的式子。

我们知道了参数 ξ \xi ξ的一个范围，它是在 g ( x ) g(x) g(x) 和 h ( x ) h(x) h(x) 之间，假设 g ( x ) ≥ h ( x ) g(x)\geq h(x) g(x)≥h(x) ，那么就有 h ( x ) ≤ ξ ≤ g ( x ) h(x)\leq \xi\leq g(x) h(x)≤ξ≤g(x) ,是不是有点夹逼定理的味道了？如果取极限后 g ( x ) g(x) g(x) 和 h ( x ) h(x) h(x)相等，那么参数 ξ \xi ξ就可以夹出来了。

话不多说，直接上题，彻底搞定这个思路：

本题中 g ( x ) g(x) g(x)和 h ( x ) h(x) h(x)都趋近于1，因此通过夹逼定理得到参数 ξ \xi ξ也趋近于1，然后直接带进 f ′ ( x ) f'(x) f′(x)中(代入后不为∞也不为0)，就可以正常解出这个极限。 所以有本方法的适用范围： g ( x ) g(x) g(x)和 h ( x ) h(x) h(x)都趋近于 x 0 x_{0} x0​ ，同时 lim ⁡ x → x 0 f ′ ( x ) \lim_{x \rightarrow x_{0}}f'(x) limx→x0​​f′(x)存在且不为0。 不适用范围：如果 g ( x ) g(x) g(x)和 h ( x ) h(x) h(x)都趋近于0（或∞），且 lim ⁡ x → 0 ( 或 ∞ ) f ′ ( x ) \lim_{x \rightarrow 0(或∞)}{f'(x)} limx→0(或∞)​f′(x) 为 ∞ ∞ ∞或者 0 0 0，这时候夹逼定理得参数 ξ \xi ξ的值就不再适用了，尝试使用方法b搞。

适用于：当内层函数趋近于0，同时 x → 0 , f ′ ( x ) ～ m x k x \rightarrow 0,f'(x)～mx^{k} x→0,f′(x)～mxk （其中 m ， k m，k m，k为非0常数） 或者当内层函数趋近于∞，同时 x → ∞ , f ′ ( x ) ～ m x k x \rightarrow ∞,f'(x)～mx^{k} x→∞,f′(x)～mxk （其中m，k为非0常数）

上述条件看似很严格，但是所幸在考研极限题目中，基本上都是满足的，本文所选取的极限也是满足的。所以其作为一个隐含条件在过程中就没有体现。严谨的小伙伴可以在用该方法求极限之前稍微判定一下。

该方法如何做？

如果 h ( x ) h(x) h(x) 和 g ( x ) g(x) g(x) 的极限趋近于无穷或者趋近于0，则需要判断一下 lim ⁡ x → x 0 h ( x ) g ( x ) \lim_{x \rightarrow x_{0}}{\frac{h(x)}{g(x)}} limx→x0​​g(x)h(x)​ 是否为1？如果是1。就可以将参数 ξ \xi ξ等价于一个函数，再带入求极限。而这个函数处于 h ( x ) h(x) h(x) 和 g ( x ) g(x) g(x)之间就可以。抽象？直接上题。

一道简单的拉式中值，判定结果为1之后运用等价求参数 这道题看见两个内层函数趋近于无穷，所以我们判定 lim ⁡ x → x 0 h ( x ) g ( x ) = 1 \lim_{x \rightarrow x_{0}}{\frac{h(x)}{g(x)}}=1 limx→x0​​g(x)h(x)​=1 后，就可以把参数等价为 x 2 x^{2} x2 ，进而得出结果。(本文开头的题目也是这样的思路)。也许你疑惑：为什么这样判定？判定后为啥可以这样设？

1.首先证明参数 ξ 和 h ( x ) 与 g ( x ) \xi 和 h(x) 与 g(x) ξ和h(x)与g(x) 之间的函数等价：

2.再证明 f ′ ( ξ ) f'(\xi) f′(ξ) 与 f ′ ( y ( x ) ) f'(y(x)) f′(y(x)) 等价(其中 y ( x ) y(x) y(x) 为 h ( x ) h(x) h(x) 与 g ( x ) g(x) g(x) 之间的函数)：

注：若此时 h ( x ) h(x) h(x)和 g ( x ) g(x) g(x)趋近于∞，证法相似。 如果找不到介于 h ( x ) h(x) h(x) 和 g ( x ) g(x) g(x) 之间的函数，可以直接令 f ′ ( ξ ) f'(\xi) f′(ξ)等价于 f ′ ( g ( x ) ) f'(g(x)) f′(g(x)) 或 f ′ ( h ( x ) ) f'(h(x)) f′(h(x)) 。 于是就有了如下精简拉氏中值秒杀结论：

1.对于数列极限，也可以运用拉氏中值求解，只不过需要在运用之前将数列转变为函数，即 n → x n\rightarrow x n→x ，即可。 2.方法b及相应的结论在计算小题时，可以快速得到答案；对于大题而言，可以用这个方法及结论快速判断能否用拉氏中值，同时可以利用这个方法快速验算自己的结果。如果想要在大题中使用方法b，则具体步骤要写的详细一点（利用夹逼定理），如下例题。

1.看见复合函数相减(有些相加可以通过变形变成相减)就要考虑到拉式中值。 2.并不是所有复合函数相减都能用拉式中值，主要看参数能不能求出来。 3.求出参数的方法有两种，一个是夹逼定理；一个就是将参数等价为关于x的式子。 趁热打铁：

1. lim ⁡ x → ∞ x 2 ( a r c t a n a x − a r c t a n a x + 1 ) \lim_{x \rightarrow \infty}{x^{2}(arctan\frac{a}{x}-arctan\frac{a}{x+1})} limx→∞​x2(arctanxa​−arctanx+1a​) 其中a大于0 2. lim ⁡ x → 2 5 x − 1 − 2 x + 5 x 2 − 4 \lim_{x \rightarrow 2}{\frac{\sqrt{5x-1}-\sqrt{2x+5}}{x^{2}-4}} limx→2​x2−45x−1 ​−2x+5 ​​ 3. lim ⁡ x → 0 l n ( 1 + x 2 ) − l n ( 1 + s i n 2 x ) x 4 \lim_{x \rightarrow 0}\frac{ln(1+x^{2})-ln(1+sin^{2}x)}{x^{4}} limx→0​x4ln(1+x2)−ln(1+sin2x)​

到此结束~ 我是煜神学长，考研我们一起加油！！！

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