§5.2  定积分的性质、中值定理

规定：

1、时，

2、时，

这两条规定的意义较直观。

当时，曲边梯形退缩成一段线， 故其面积应该为零；

当时，区间所对应的分点成为

相应的小区间的长度 。

此时，相对于，的符号应相反。

声明：在下面的讨论中， 对积分上下限的大小均不加以限制，并假定各性质中所列出的定积分均存在。

【性质一】函数的和(差)的定积分等于它们的定积分的和(差)。

即：  

证明：

显然，性质一对于任意有限个函数也是成立的。

【性质二】被积函数的常数因子可以提到积分号外面。

即：       ( 是常数因子 )

证明：

【性质三】如果将积分区间分成两部分， 则在整个区间上定积分等于这两个区间上定积分之和。

 即：   ( * )

这一性质的几何意义十分明显。如图，曲边梯形的面积有：

此性质表明，定积分对于积分区间具有可加性。其实，无论三个数的相对位置如何，等式( * )总是成立的。

例如：当时， 有

【性质四】如果在区间上，，则。

【性质五】如果在区间上，，则 。

据定积分几何意义，它是一个曲边梯形真正的面积值，故它应为非负的。

【推论一】如果在区间上，，则

事实上， 由 ， 据 性质五 与 性质一 有

【推论二】

证明：

由推论一有：

即：  

【性质六】设及分别是函数在区间上的最大值及最小值，

则    

证明：

则 

这一性质可用来估计定积分值的范围，它也具有鲜明的几何意义。

【性质七】( 定积分的中值定理 )

如果函数在闭区间上连续， 则在上至少存在一点，

使得  

证明：据性质六有

数值 介于连续函数在上的最小值与最大值之间， 再由闭区间上连续函数的介值定理， 在  上至少存在一点 ，使得

。

积分中值公式的几何解释

利用计算机编写程序gs0502.m，对定积分

进行数值计算试验，我们可验证定积分中值定理的正确性。运行该程序时，注意建立被积函数的函数文件f.m