arcsin(sin x) 一定等于 x 吗?不一定哦! |
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一、前言 首先,我们要明确,使得 $\arcsin (\sin x)$ $=$ $x$ 成立是有前提条件的,这个前提条件就是: $$x \in (-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$$ 下面我们就详细讨论一下为什么会这样。 难度评级: 二、正文为什么在 $\arcsin (\sin x)$ $=$ $x$ 中需要满足 $x \in (-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$—— 因为,只有当 $x \in (-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$ 时,才会有: $$\sin x \in (-1, 1)$$ 进而,从 $y = \arcsin t$ 的图像(如图 01)中可以看到,变量 $t$ 只能在 $(-1, 1)$ 区间上取值: 这也就意味着 $y = \arcsin (\sin x)$ 中 $\sin x$ 也只能在 $(-1, 1)$ 区间上取值,对应的 $\sin x$ 中 $x$ 的取值范围就是 $x \in (-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$, 如图 02 所示: 那么,当 $\arcsin (\sin x)$ 中 $x$ 的取值不属于 $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$ 时,该怎么办呢? 办法就是利用三角函数的周期性做等价代换。 例如: $$\sin (\pi – x) = \sin x$$ 那么,当 $x \in (\frac{3 \pi}{4}, \pi)$ $\notin$ $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$ 时,由于: $$x \in (\frac{3 \pi}{4}, \pi) \Rightarrow \pi – x = (\frac{\pi}{4}, 0) \Rightarrow$$ $$(\frac{\pi}{4}, 0) \in (-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$$ 因此:当 $x \in (\frac{3 \pi}{4}, \pi)$ 时,有: $$\arcsin (\sin x) = \arcsin [\sin (\pi – x)] = \pi – x.$$ 总的来说,产生上面这个问题的核心原因就是 $\sin x$ 的值域大于 $\arcsin x$ 的定义域,因此,在 $\arcsin (\sin x)$ 中,我们需要考虑 $\sin x$ 输出的值是否满足 $\arcsin x$ 的定义域。 在这里,荒原之梦网(zhaokaifeng.com)还想补充一点:由于 $\arcsin x$ 的值域是被 $\sin x$ 的定义域完全“包起来”的,因此,一般情况下,无论 $x$ 的取值是多少,都有: $$\sin (\arcsin x) = x$$ 涵盖高等数学基础概念、解题技巧等内容,图文并茂,计算过程清晰严谨。 线性代数以独特的视角解析线性代数,让繁复的知识变得直观明了。 特别专题通过专题的形式对数学知识结构做必要的补充,使所学知识更加连贯坚实。 让考场上没有难做的数学题! 相关文章: 反三角函数 $\arcsin$ 的常用特殊值(A004) $\sin [2 \arcsin y]$ 等于多少? 对 $\int$ $\frac{f(\arcsin x)}{\sqrt{1-x^{2}}}$ $\mathrm{d} x$ 凑微分的计算方法(B006) $\arcsin x$ 的麦克劳林公式(B004) $\cos (\arcsin y)$ 等于多少? 适时而止,更简单:$\int$ $e^{x}$ $\arcsin \sqrt{1-e^{2x}}$ $\mathrm{d} x$ 存在两类及以上不同函数的式子就尝试用分部积分:$\int$ $\frac{\arcsin \sqrt{x} + \ln x}{\sqrt{x}}$ $\mathrm{d} x$ 证明 $(\arcsin x)^{\prime}$ $=$ $\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}$ 加加减减,凑凑拆拆:$\int$ $\frac{\sin x}{\sin x + \cos x}$ $\mathrm{d} x$ $\arcsin x$ 的等价无穷小(B001) $\arcsin x$ 的求导公式(B003) 三角函数 $\sin$ 与 $\cos$ 有理式积分的一般解题思路 求导一定要“彻底”:以 $\arcsin \sqrt{x}$ 为例 反三角函数 arcsin x 和 arccos x 的关系 常用的极限两原则:拆分之后的所有式子都要有极限且只能在乘除法之间使用等价无穷小替换 三角函数 $\sin$ 的特殊角数值(A001) 求解 $\sin$ 与 $\cos$ 线性组合分式积分的通用解法 2014年考研数二第17题解析:二重积分、极坐标系 $\arcsin x$ $-$ $x$ 的等价无穷小(B001) “区间再现”之于定积分,就如同“洛必达”之于极限:适用性很强! $\arcsin x$ $-$ $\arctan x$ 的等价无穷小(B001) 2008 年研究生入学考试数学一解答题第 1 题解析(两种方法+手写作答) 巧用三角函数凑微分,化不同为相同:$\int$ $\frac{\cos^{2} x \sin x}{\sin^{2} x}$ $\mathrm{d} x$ 遇到三角函数有理式,就用三角函数凑微分:$\int$ $\frac{\sin 2x \sin^{2} x}{2 + \cos^{4} x}$ $\mathrm{d} x$ 三角函数 $\sin$ 的和化积公式(A001) |
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