三角函数和反三角函数图像、导数、积分、等式关系

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三角函数和反三角函数图像、导数、积分、等式关系

2024-07-13 00:54:08| 来源: 网络整理| 查看: 265

之前对三角函数的理解仅局限于sin，cos，tan。但是目前遇到的都是些csc，sec，cot，arctan，arccos，arcsin。积分和求导还有一堆公式最近看到了一个六边形记忆法，更加简便。

1.倒三角： sin²+cos²=1 tan²+1=sec² 1+cot²=csc² 2.对角线倒数 3.临点积 tan*cos=sin sin*cot=cos 4.求导:左三角导数正，右三角导数负上互换： sin'=cos cos'=-sin 中下2： tan'=sec² cot'=-csc² 下中下： sec'=tan*sec csc=-cot*csc 5.求积分： sec积分：ln|sec+tan|+C csc积分：-ln|csc+cot|+C

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1.三角函数及其倒数 sin(x)和csc(x)

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cos(x)和sec(x)

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tan(x)和cot(x)

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分析其特点：

在这里插入图片描述这几个三角函数两两之间是倒数的关系。他们共同特点：1.在同一点处他们函数值相乘为1他们有共同交点在y=1和y=-1这两条直线上2.在同一区间他们同号。其中一个函数->0+，那么另一个函数->+无穷其中一个函数->0-，那么另一个函数->-无穷3.在y=1和y=-1处对应的x坐标记为a。在a的左右邻域他们增减性相反

2.三角函数及其反函数 sin(x)和arcsin(x）

注：正弦函数y=sinx，x∈R因为在整个定义域上没有一一对应关系，所以不存在反函数。反正弦函数对这样一个函数y=sinx，x∈[-π/2，π/2]成立，这里截取的是正弦函数靠近原点的一个单调区间。y=arcsinx 的定义域：[-1,1],值域：[-π/2,π/2] 在这里插入图片描述

cos(x)和arccos(x)

y=cosx，x∈R因为在整个定义域上没有一一对应关系，所以不存在反函数。arccos(x)对这样一个函数y=cosx，x∈[0，π]成立，这里截取的是余弦函数靠近原点的一个单调区间，arccosx 值域是 :[0,π],定义域[-1,1]。

在这里插入图片描述

tan(x)和arctan(x)

注：由于正切函数y=tanx在定义域R上不具有一一对应的关系，所以不存在反函数。

选取正切函数的一个单调区间。而由于正切函数在开区间(-π/2,π/2)中是单调连续的，因此，反正切函数是存在且唯一确定的。arctanx的值域是：(-π/2,π/2)。

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分析其特点

在这里插入图片描述

他们的特点其实就是原函数和反函数的特点，关于y=x对称。函数与其反函数在其对应区间内单调性相同。

3.python画图源代码

画图及坐标配置请参考matplotlib官方网站：https://matplotlib.org/gallery/index.html

import matplotlib.pyplot as plt plt.rcParams['font.sans-serif']=['SimHei'] # 用来正常显示中文标签 plt.rcParams['axes.unicode_minus']=False # 用来正常显示负号 #import pandas as pd import numpy as np from mpl_toolkits.axisartist.axislines import SubplotZero import numpy as np from matplotlib.ticker import MultipleLocator, FuncFormatter fig = plt.figure(1, (10, 6)) ax = SubplotZero(fig, 1, 1, 1) fig.add_subplot(ax) """新建坐标轴""" ax.axis["xzero"].set_visible(True) #ax.axis["xzero"].label.set_text("新建y=0坐标") #ax.axis["xzero"].label.set_color('green') ax.axis['yzero'].set_visible(True) # ax.axis["yzero"].label.set_text("新建x=0坐标") # 新建一条y=2横坐标轴 #ax.axis["新建1"] = ax.new_floating_axis(nth_coord=0, value=1,axis_direction="bottom") #ax.axis["新建1"].toggle(all=True) #ax.axis["新建1"].label.set_text("y = 1横坐标") #ax.axis["新建1"].label.set_color('blue') """坐标箭头""" ax.axis["xzero"].set_axisline_style("-|>") ax.axis["yzero"].set_axisline_style("-|>") """隐藏坐标轴""" # 方法一：隐藏上边及右边 # ax.axis["right"].set_visible(False) # ax.axis["top"].set_visible(False) #方法二：可以一起写 ax.axis["top",'right'].set_visible(False) # 方法三：利用 for in # for n in ["bottom", "top", "right"]: # ax.axis[n].set_visible(False) x = np.arange(-2*np.pi, 2*np.pi, 0.01) def pi_formatter(x, pos): """ 将数值转换为以pi/4为单位的刻度文本 """ m = np.round(x / (np.pi / 4)) n = 4 if m % 2 == 0: m, n = m / 2, n / 2 if m % 2 == 0: m, n = m / 2, n / 2 if m == 0: return "0" if m == 1 and n == 1: return "$\pi$" if n == 1: return r"$%d \pi$" % m if m == 1: return r"$\frac{\pi}{%d}$" % n return r"$\frac{%d \pi}{%d}$" % (m, n) # 设置两个坐标轴的范围 plt.ylim(-3 , 3) plt.xlim(-2*np.pi, np.max(x)) # 设置图的底边距 plt.subplots_adjust(bottom=0.15) plt.grid() # 开启网格 # 主刻度为pi/4 ax.xaxis.set_major_locator(MultipleLocator(np

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