在介绍模拟退火算法之前，我们先认识一下爬山算法。

在爬山法寻找最优值的过程中，先随机生成一个点，计算其适应度值f(x)，然后再其左领域和右领域中依照步长各选取一个点计算其适应度值f(xleft),f(xright),比较其三者，将适应度最大值点作为下一次迭代的初始点，直至寻找到最大值点。

爬山算法是一种典型的贪婪算法是一种狭隘的没有顾及全局的算法，如图所示在使用爬山算法寻找最大值时容易陷入局部最优。

本文力求通俗易懂，故不在讲述物理层次的原理，我们回到爬山算法，爬山算法有一个非常重大的缺陷是容易陷入局部最优，并且陷入局部最优之后不能跳出。造成这样一种现象的原因是在每一次迭代中，我们采用贪婪的思想，只采用了最大值。 如图所示：按照爬山法的原理f(x)>f(xleft),所以将f(x)作为下一次迭代初值，而舍弃了可能更靠近全局最优值的f(xleft)。 所以引申出了一个议题：当左领域或者右领域的适应度值小于本身的适应度值，我们是否应该尝试去以一定的概率接受它来做下一次迭代的初值。

那么这个一定概率（p）到底是怎么计算的呢，按照咱们一般人的思维，当然是差距越小，咱们越容易去接受它。差距在函数寻找最优值的时候便体现在了距离上，即 | f(x)-f(xleft) | 也就是说这个概率是与这个距离成反比的，距离越大，接受的概率就越小。用数学的语言来表达即： 问题又来了，这个p既然是一个概率，那他也应该有个取值范围 [0,1] 这说明刚刚上式不能完全作为p的计算公式，那么在我们印象中有哪些函数的值域刚好是在[0,1]内，很多人可能想到sigmod。也有人想到arctan值域是在[-pi/2,pi/2],由于距离加了绝对值所以取值是在[0,pi/2],最后除以pi/2即可完成归一化。这些想法都是不错的，但是有一条更简单的曲线，它就是e^(-x)；图像如图： 那么结合距离和该函数图像就能合理的假设出 在这里，为什么不是倒数了是我们要保证距离和概率p要成负相关。

概率函数设计完毕工作到此似乎完成了，但是科学是严谨的。我们考虑一下现实，模拟退火算法模拟的是一种退温过程，我那稀薄的物理知识告诉我，分子在高温的情况下运动是非常剧烈的，在温度逐渐下降的过程中运动逐渐减缓并趋于稳定。

视角转移到算法这里，运动剧烈意味着我们更容易跳到其他地方搜索最优解，也就是在温度高的时候我们更容易接受其他解，可以合理的得到推论：概率p和温度成正相关，不妨设函数C(t)。此处记 | f(x)-f(xleft) | =△f。概率p公式可表现为： 其中C(t）是随着温度递减的函数。

到了这里终究还是逃不过物理范畴。因为的C(t)的选择是在太多了，哪一个才是合适的。在1995年Metropolis提出了一个重要的采样性方法，即设当前状态i生成新状态j，若新状态的内能小于状态i的内能即（Ej x_ub(j) r = rand(1); x_new(j) = r*x_ub(j)+(1-r)*x0(j); end end x1 = x_new; % 将调整后的x_new赋值给新解x1 y1 = Obj_fun1(x1); % 计算新解的函数值 if y1 > y0 % 如果新解函数值大于当前解的函数值 x0 = x1; % 更新当前解为新解 y0 = y1; else p = exp(-(y0 - y1)/T); % 根据Metropolis准则计算一个概率 if rand(1) < p % 生成一个随机数和这个概率比较，如果该随机数小于这个概率 x0 = x1; % 更新当前解为新解 y0 = y1; end end % 判断是否要更新找到的最佳的解 if y0 > max_y % 如果当前解更好，则对其进行更新 max_y = y0; % 更新最大的y best_x = x0; % 更新找到的最好的x end end MAXY(iter) = max_y; % 保存本轮外循环结束后找到的最大的y T = alfa*T; % 温度下降 pause(0.01) % 暂停一段时间(单位：秒)后再接着画图 h.XData = x0; % 更新散点图句柄的x轴的数据（此时解的位置在图上发生了变化） h.YData = Obj_fun1(x0); % 更新散点图句柄的y轴的数据（此时解的位置在图上发生了变化） end disp('最佳的位置是：'); disp(best_x) disp('此时最优值是：'); disp(max_y) pause(0.5) h.XData = []; h.YData = []; % 将原来的散点删除 scatter(best_x,max_y,'*r'); % 在最大值处重新标上散点 title(['模拟退火找到的最大值为', num2str(max_y)]) % 加上图的标题 %% 画出每次迭代后找到的最大y的图形 figure plot(1:maxgen,MAXY,'b-'); xlabel('迭代次数'); ylabel('y的值'); toc function y = Obj_fun1(x) y = 11*sin(x) + 7*cos(5*x); end

参考资料：张军，詹志辉《计算智能》 清华大学出版社 数学建模清风第二次直播：模拟退火算法 https://www.bilibili.com/video/BV1hK41157JL