使用这个计算器,你可以在线求解线性、二次或三次方程。相应部分中可以找到计算示例。

方程式是含有未知数(或变量)的等式。含有一个未知数 $x$ 的方程式通常以如下形式表示: $f(x) = g(x)$。

方程式的解(或根)是使方程式转化为正确的数值等式的未知数的值。解方程式就是找到所有解或证明没有解。

如何使用计算器解方程式:先输入等号 = 左边的部分,按下 x=y 键,再输入右边的部分,按下 = 键进行计算。例如,对于方程式 $2x - 4 = 0$,根为 $x = 2$。以下是使用方程式计算器得到这个结果的方法:

$$2x - 4 = 0 \\ \Downarrow \\ x = 2$$

2 x - 4 x=y 0 =

含有一个未知数的线性方程式可以表示为:

$$ax + b = 0,$$

其中

线性方程式是最简单的代数方程式,求解只需执行简单的算术运算。

求解示例:

$$4x - 16 = 0 \\ \Downarrow \\ x = 4$$

4 x - 1 6 x=y 0 =

$$3x + 2 = 6 - x \\ \Downarrow \\ x = 1$$

3 x + 2 x=y 6 - x =

二次方程式的形式如下:

$$ax^2 + bx + c = 0 \ \ \ (a \ne 0)$$

使用计算器解二次方程式:

$$4x^2 - 6x + 2 = 0 \\ \Downarrow \\ x_1 = 1, \ x_2 = 0.5$$

4 x x2 - 6 x+ 2 x=y 0 =

$$x^2 - 3x - 4 = 0 \\ \Downarrow \\ x_1 = 4, \ x_2 = -1$$

x x2 - 3 x - 4 x=y 0 =

$$x^2 - 4x + 4 = 0 \\ \Downarrow \\ x_1 = x_2 = x = 2$$

x x2 - 4 x + 4 x=y 0 =

存在一些二次方程式,其系数之间有特殊关系,可以用更简单的方法求解。

$$a + b + c = 0 \\ \Downarrow \\ x_1 = 1, \ x_2 = \frac {c} {a}$$

$$a + c = b \\ \Downarrow \\ x_1 = -1, \ x_2 = - \frac {c} {a}$$

这类方程式的根也可以用普通计算器求出。

判别式用于求解二次方程式的根。判别式公式为:

$$D = b^2 - 4ac$$

利用判别式求根的公式为:

$$x_{1,2} = \frac {-b \pm \sqrt D} {2a}$$

如果 $D > 0$,则方程式有两个不同的根。例如:

$$4x^2 - 6x + 2 = 0 \\ \Downarrow \\ a = 4, \ b = -6, \ c = 2 \\ \Downarrow \\ D = (-6)^2 - 4 × 4 × 2 = 4 \\ \Downarrow \\ x_{1,2} = \frac {-(-6) \pm \sqrt 4} {2 × 4} \\ \Downarrow \\ x_1 = \frac {6 + 2} {8} = 1, \ x_2 = \frac {6 - 2} {8} = 0.5$$

如果 $D = 0$,则方程式有一个根(或两个相同的根)。例如:

$$x^2 - 4x + 4 = 0 \\ \Downarrow \\ a = 1, \ b = -4, \ c = 4 \\ \Downarrow \\ D = (-4)^2 - 4 × 1 × 4 = 0 \\ \Downarrow \\ x_{1,2} = \frac {-(-4) \pm \sqrt 0} {2 × 1} \\ \Downarrow \\ x_1 = x_2 = x = \frac {4 \pm 0} {2} = 2$$

如果 $D < 0$,则方程式在实数集上无根:

$$x^2 + 4x + 5 = 0 \\ \Downarrow \\ a = 1, \ b = 4, \ c = 5 \\ \Downarrow \\ D = 6^2 - 4 × 1 × 5 = -4 \\ \Downarrow \\ x_{1,2} = \frac {-4 \pm \sqrt {-4}} {2 × 1} \\ \Downarrow \\ x_1 = \frac {-4 + 2i} {2} = -2 + i, \\ x_2 = \frac {-4 - 2i} {2} = -2 - i$$

维特定理建立了二次方程式 $x_1, x_2$ 的根与系数 $a, b, c$ 之间的简单代数关系(维特公式)。利用这些公式,如果已知系数就可以求根,如果已知根就可以求系数。

维特公式:

$$\begin {cases} x_1 + x_2 = - \dfrac {b} {a} \\ x_1 x_2 = \dfrac {c} {a} \end {cases}$$

二次次方程式的形式为:

$$ax^4 + bx^2 + c = 0 \ \ \ (a \ne 0)$$

令 $x^2$ 为 $y \ (y \ge 0)$,就变成了一个二次方程式,可以求出它的两个根 $y_1, y_2$。二次次方程式的根可通过如下方式求出:

$$x_{1,2} = \pm \sqrt {y_1}, \ \ \ x_{3,4} = \pm \sqrt {y_2}$$

三次方程式的形式为:

$$ax^3 + bx^2 + cx + d = 0 \ \ \ (a \ne 0)$$

求解示例:

$$x^3 - 6x^2 - 31x + 120 = 0 \\ \Downarrow \\ x_1 = -5, x_2 = 3, x_3 = 8$$

x x3 - 6 x x2 - 3 1 x+ 1 2 0 x=y 0 =

如果将三次方程式除以 $a$ 并令 $x$ 变为 $y - \frac {b} {3a}$,它就转化为以下更简单的形式:

$$y^3 + py + q = 0,$$

其中

$y = x + \frac {b} {3a}$,

$p = \frac {c} {a} - \frac {b^2} {3a^2} = \frac {3ac - b^2} {3a^2}$,

$q = \frac {2b^3} {27a^3} - \frac {bc} {3a^2} + \frac {d} {a} = \frac {2b^3 - 9abc + 27a^2d} {27a^3}$.

如果三次方程式的形式为:

$$y^3 + py + q = 0,$$

那么可以使用卡达诺公式求出该方程的根:

$$x = \sqrt[3] {- \frac {q} {2} + \sqrt {\frac {q^2} {4} + \frac {p^3} {27}}} + \\ + \ \sqrt[3] {- \frac {q} {2} - \sqrt {\frac {q^2} {4} + \frac {p^3} {27}}}$$