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判断正整数是否为质数的三种方法
本文参考《如何判断一个正整数是否为质数的三种方法 | 附Python程序》结合自身理解,作为笔记发布。如果对你有帮助,点赞关注哦! 一、基本概念质数(又称素数): 一个大于1的自然数,除了1和它自身外,不能被其他自然数整除的数叫做质数;否则称为合数。按照规定,1不算素数,最小的素数是2,其后依次是3、5、7、11等等。 大于等于5的质数,均分布在6及6的倍数的两侧 二、python代码 1)定义判断法:根据定义,因为质数除了1和本身之外没有其他因数,所以判断n是否为质数,根据定义直接判断从2到n-1是否存在n的因数即可: def hasPrime(num): if num > 1: for j in range(2, num): if num % j == 0: return False else: return True else: return False 2)定义法改进:定义方法,明显存在效率极低的问题。对于每个数n,其实并不需要从2判断到n-1,我们知道,一个数若可以进行因数分解,那么分解时得到的两个数一定是一个小于等于sqrt(n),一个大于等于sqrt(n),据此,上述代码中并不需要遍历到n-1,遍历到sqrt(n)即可,因为若sqrt(n)左侧找不到因数,那么右侧也一定找不到因数。 def isPrime_1(num): if num == 2 or num == 3: return True elif num > 4: #优化定义法检验 for j in range(2, int(sqrt(num))+1): if num%j == 0: return False else: return True else: return False 3)质数规律判断法还记得质数规律吗? 大于等于5的质数一定和6的倍数相邻。例如5和7,11和13,17和19等等。 证明:令x≥1,将大于等于5的自然数表示如下: ······6x-2,6x-1,6x,6x+1,6x+2,6x+3,6x+4,6x+5,6x+6,6x+7······ 也就是 ······2(3x-1),6x-1,6x,6x+1,2(3x+1),3(2x+1),2(3x+2),6x+5,6(x+1),6(x+1)+1······ 可以看到,不在6的倍数两侧的数(除了6x-1,6x+1),即6x+2,6x+3,6x+4······,提取公因数后:2(3x+1),3(2x+1),2(3x+2),能被2整除,所以它们一定不是质数,同时6x本身也非质数。显然,素数如果出现只可能出现在6x的相邻两侧。这里要注意的一点是,在6的倍数相邻两侧并不是一定就是质数,但是不在6的倍数的两侧一定不是质数。 根据以上规律,判断质数可以6个为单元快进,即将方法(2)循环中i++步长加大为6,加快判断速度,代码如下: def isPrime(num): if num == 2 or num == 3: return True if num % 6 == 1 or num % 6 == 5: for i in range(2, int(sqrt(num))+1): if i % num == 0: print(i) return False else: return True else: return False 三、知识拓展通过调用以上函数,我们可以写出输出某个范围内质数的程序。然而,同时存在两种算法可直接输出给定值的所有素数。有幸读到质数判定和质数筛法一文,其中很详细的介绍了两种筛选质数的方法:埃拉托色尼筛选法/埃式筛法,线性筛法/欧拉筛法。本文不再赘述,做知识的搬运工,感兴趣的朋友可移步学习,欢迎留言讨论! 都看到这里了,给个点赞关注吧! |
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