概念：微分方程的解、瞬态响应、稳态响应、自由响应、强迫响应、零输入响应、零状态响应

要理解这几个概念，首先要从“微分方程的解“的结构说起，

参考：《常系数线性微分方程的解法》

（1）

（2）

我们对物理系统进行建模时，列出的微分方程多为”非齐次、线性“，如上式（2）所示，由上面的定理7可知，这种非齐次微分方程的通解y(t)由两部分相加：①对应的”齐次微分方程“的通解y1(t)，②一个该非齐次微分方程的特解y2(t)。

y(t)就是该物理系统的输出信号的时域表达式，显然该表达式中的y1(t)部分跟输入信号f(t)无关，那么y1(t)就称为该系统的”自由响应“，y2(t)跟输入信号f(t)相关，称为系统在输入信号作用下的”强迫响应“，《机械工程控制基础》第6版，p83最后一段

关于特征根：按照”线性微分方程的解”相关理论，对齐次方程做拉氏变换后，可以得到一个关于复变量s的代数方程，我们知道，“方程的解的形式”与“这个s代数方程的根的情况”直接相关，所以我们把这个代数方程（特征方程）的根称为特征根。那么这两者的关系是什么？如下所示：

①特征根均为单实根，则齐次微分方程的解的形式一定是：

②特征根为一重共轭复根，形如α±βi，则齐次微分方程的解的形式一定是：

③特征根为k重根（还可细分为k重实根/k重复根），则解的形式是：

实际上以上种种情况都是③的特例，直接看一个特征方程的例子，特征方程是以s为变量的高次多项式：

一个高次多项式，在复数域内一定可以进行因式分解，化为这种形式：

                      （3）

题外话：为什么一定能因式分解为上述形式，例如：

在实数域无法分解，但在复数域就能分解为：

下面回到正题，继续看上面的③，

式（3）总共有k1+k2+```+kn个复数根，这些ki中可能有一些为0，这样相应的特征根λi就变成了单重根，否则就是ki重根；如果某个特征根λi的虚部为0，那么λi就是ki重实根。显然根据ki的不同、λi实虚部的不同，可以涵盖前面所述的三种情况。

直接给出结论得了，式（3）对应的齐次微分方程的解的基为：

也即，微分方程的解为：上图中的每一项*cij，再相加（如果λi含虚部，还可把e^λit进一步欧拉展开）。

利用这条结论，我们来做几个例子：

例1：已知某齐次线性微分方程的特征方程为(s-5)(s+3)^2=0，问该微分方程的解？

分析：特征根为：λ1=5 (重数k1=1)、λ2= -3(k2=2)，那么根据上图，我们可以写出微分方程的解空间的基为：

，

从而得到解为：，式中c1、c2、c3为任意实数

例2：已知某齐次线性微分方程的特征方程为(s-5)(s^2+2s+5)^2=0，问该微分方程的解？

该特征方程的根为：

λ1=-1+2j (重数k1=2)、λ2=-1-2j (重数k2=2)、λ3=5 (重数k3=1)，那么根据上图写出解的基为：

根据解的基，可以立即写出微分方程的通解：

总结一下齐次线性微分方程的解的结构：一定脱离不了这种形式的多项式：

也即，（式10）

由上述分析可见，基础解系的线性组合就是通解，不过令人疑惑的是，基础解系中含有虚数i，也即最终方程的解类似这样：y(t) = sin(2*t) + 5 * i * cos(8*t) +.....。这很奇怪，对于yt=f(t)这种一元非线性函数，是很容易绘制出时域曲线的，但是表达式中含有虚数i，就让人不知所措了，想象不出这条曲线到底长啥样，甚至不知道这个函数式到底能不能画出曲线。

其实这个问题的解决方案也很简单：由于这些含有虚数的解，一定是共轭的，通过合并同类项，一定能用欧拉公式，把指数部分含虚数的项，合并为三角函数sin或cos 

附一个欧拉公式 

下面再继续讲解概念：瞬态响应。

根据（式10）可知，只要特征根的实部