线性代数让我想想：基础解系的个数为何是n

【作为回顾知识的絮絮叨叨，过于基础可以跳过】

首先给出基础解系的背景知识和它相关的概念：

对于齐次线性方程组，我们给出它的系数矩阵 A m × n A_{m×n} Am×n​，等式右边全为零，我们用 O O O 来表示零矩阵。将 x 1 x_1 x1​、 x 2 x_2 x2​、 x 3 x_3 x3​、 ⋯ \cdots ⋯ 组成的向量 ( x 1 , x 2 , x 3 , ⋯   ) (x_1,x_2,x_3,\cdots) (x1​,x2​,x3​,⋯)，记作 X X X，那么有： A X = O AX=O AX=O 对于非齐次线性方程组，我们给出它的系数矩阵 A m × n A_{m×n} Am×n​，由于等式右边不全为零，我们将写出它的结果向量 B B B。将 x 1 x_1 x1​、 x 2 x_2 x2​、 x 3 x_3 x3​、 ⋯ \cdots ⋯ 组成的向量 ( x 1 , x 2 , x 3 , ⋯   ) (x_1,x_2,x_3,\cdots) (x1​,x2​,x3​,⋯)，记作 X X X，那么有： A X = B AX=B AX=B 零矩阵作为任意矩阵的一种特殊情况，我们统一写为 B B B，于是线性方程组我们可以统一为： A X = B AX=B AX=B 解线性方程组的过程也就是求出向量 X X X 的过程。

结合我们朴素的解方程认识，我们容易得到，解具有三种情况（具体的讨论过程将放在另一篇文章里说到）：

（1）方程无解；（2）方程有唯一解；（3）方程有无穷解。

【我们这里讨论方程有无穷解的情况】

只有在方程具有无穷解时，我们才会提到基础解系的概念，此时满足矩阵 A A A 行不满秩。

而基础解系的”个数“并不是解的个数，而是指构成解空间的一组基底（极大无关组）。

从之前的文章我们知道，矩阵的秩代表了其最精简信息，也就是说，矩阵所表征向量空间中基底的个数。也就是说，基础解系的个数其实是矩阵解空间的基底个数（或者说是线性方程组的无穷个解所构成的子空间的秩）。

【三阶矩阵举例】

比如，三阶矩阵的秩为2，那么其基础解系就是 n − r = 3 − 2 = 1 n-r=3-2=1 n−r=3−2=1。

【基础解系含义】

但是，这个 1 1 1 不是指这个基础解系里只有一个解(向量)，而是指在这个秩与为1的空间中有无数解(向量) x x x，而这些 x x x 都满足原方程组。那么，在几何意义上，意味着所有的解都在一条直线上，取其中任何一个解，其它解与它都是倍数关系。

【为什么是n-r】

从秩的本质角度出发，三阶矩阵对应的三维空间包含了三条最精简信息（也就是 x 、 y 、 z x、y、z x、y、z 轴三个基底），三阶矩阵的秩为2，说明其只包含了两条最简信息，那么需要基础解系对应给出1条最精简信息让整个三维空间表达信息的能力不丢失。