大学高等数学：第六章第一讲泰勒公式1

转载自百家号作者：动点数学

上节课我们学习了第五章微分中值定理及导数洛必达法则、一元函数极值最值知识点，相信大家掌握的都不错。

今天我们学习第六章，第六章在整个大学数学中占据举足轻重的地位，为什么这么讲呢？因为泰勒公式，整个第六章都是围绕着泰勒公式进行讲解。对于一些较负责的函数，为了便于研究，往往希望用一些简单的函数来近似表达，由于用多项式表示的函数，只要对自变量进行有限次加，减，乘三种算术运算，便能求出它的函数值来，因此，我们经常用多项式来近似表达函数。

在微分的应用中我们已经知道，当lxl很小时，有如下的近似等式：

e^x≈1+x,ln(1+x)≈x

这些都是用一次多项式来近似表达函数列子，显然，在x=0处这些一次多项式及其一阶导数的值，分别等于近似表达的函数及其导数的相应值。

但是这种近似表达式的精确度不高，它所产生的误差仅是关于x的高阶无穷小，为了提高精确度，自然想到用更高次的多项式来逼近函数，于是，提出如下问题：

设f(x)在xo处具有n阶导数，试找一个关于(x-xo的n次多项式)

3-1

来近似表达f(x)，要求使得Pn(x)与f(x)之差是当x→xo时比(x-xo)^n高阶的无穷小。

下面我们来讨论这个问题，假设Pn(x)在xo处的函数值及它的直到n阶导数在xo处的值依次与f(xo),f'(xo),......f^(n)(xo)相等，即满足

按这些等式来确定多项式(3-1)的系数ao,a1,a2,...an。为此，对(3-1)式求各阶导数，然后分别代入以上等式，得

泰勒(Taylor)中值定理1 如果函数f(x)在xo处具有n阶导数，那么存在xo的一个邻域，对于该邻域内的任一x,有

对于泰勒中值定理1的证明就不做多的说明，同学们只需在做题时候会用，会理解，知道什么情况下可以使用

多项式(3-2)称为函数f(x)在xo处(或按(x-xo)的幂展开)的n词泰勒公式，公式(3-3)称为f(x)在xo处(或按(x-xo)的幂展开)的带有佩亚诺余项的n阶泰勒公式，而Rn(x)的表达式(3-4)称为佩亚诺余项，它就是用n次泰勒多项式来近似表达f(x)所产生的误差，这一误差是当x→xo时比(x-xo)^n高阶的无穷小，但不能由它具体算出误差的大小。下面给出的具有另一种余项形式的泰勒定理则解决了这一问题。

泰勒(Taylor)中值定理2 如果函数f(x)在xo的某个邻域U(xo)内具有(n+1)阶导数，那么对任一x∈U(xo),有

公式(3-5)称为f(x)咋在xo处(或按(x-xo)的幂展开)的带有拉格朗日余项的n阶泰勒公式，而Rn(x)的表达式(3-6)称为拉格朗日余项。

当n=0时，泰勒公式(3-5)变成拉格朗日中值公式

f(x)=f(xo)+f'(v)(x-xo) (v在xo与x之间)。

因此，泰勒中值定理2是拉格朗日中值定理的推广。

由泰勒中值定理2可知，以多项式Pn(x)近似表达函数f(x)时，其误差为lRn(x)l,如果对于某个固定的n，当x∈U(xo)时,lf^(n+1)(x)l≤M，那么有估计式

由(3-8)或(3-9)可得近似公式

列1：写出函数f(x)=e^x的带有拉格朗日余项的n阶麦克劳林公式

列2 求f(x)=sinx的带有拉格朗日余项的n阶麦克劳林公式

列3 利用带有佩亚诺余项的麦克劳林公式，求极限x→0,lim(sinx-xcosx)/sin^3x

今天我们学习的泰勒公式1中的泰勒中值定理1和2，希望大家能够配合着题目做做，便于对泰勒中值定理的理解更深入一个层次，下节课我们会学习泰勒公式2的章节，会整理一份关于泰勒公式的基本公式，希望大家收藏分享下，没点关注的关注下，感谢大家。