高阶导数归纳法

前言：高阶导数对于一阶二阶导数来说更难一些，更富有技巧性，大多数情况下不允许你蛮干，有些常用的规律必须得记住，当然学会这些知识的前提，还是得把16个基本求导公式得背熟，背不熟做一步卡一步。

正文：

1.高阶导数的定义：

 函数  的导数 仍是 x 的函数，通常把导函数 的导数叫做函数的二阶导数，记作 

即或者可以写成：

类似地，二阶导数的导数叫做三阶导数，三阶导数的导数叫做四阶导数…… . 一般地，n-1阶导数的导数叫做 n 阶导数，即

分别记作

或者写为二阶及二阶以上的导数统称为高阶导数。        *该词条来自于百度百科

2.高阶导数运算方法

①归纳法(思想是逐次求导，找出规律得通式)

栗子1

它的一阶导数到n阶导数的式子如下

得出通式得

栗子2

栗子3

通过若干阶导数的计算可看出，sinx的高阶导数具有一种循环性，其循环规律涉及两个因素，一是总在sin x 和 cos x 之间交互转换，二是符号交互变化

由于涉及两个变化因素，使得确定导数规律相对困难，故考虑改写各阶导数形式，以减少其间变化因素，并使其和导数阶数发生联系

重要的高阶求导公式：

②用高阶导数求导公式

这个公式被称为莱布尼兹公式

如果见到两个乘积的高阶导数，一般用莱布尼兹公式即可，同时要结合上述所给的公式来求解，若求一个高阶导数比较困难时，若能转化成两个函数乘积的形式，亦用莱布尼兹公式

栗子4

栗子5

栗子6

3.泰勒公式或麦克劳林公式，比较系数

如果 在点x=x0具有任意阶导数，则幂级数

称为  在点x0处的泰勒级数在泰勒公式中

取x0=0，得到的级数称为麦克劳林级数

常见的幂级数展开式

栗子7

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