【高等代数】04

　　多项式是数学中的重要概念，在分析和代数中都有广泛的应用，线性变换也非常依赖多项式的理论。虽然在不同场景下多项式描述的对象有较大差异，但它们却有着类似的代数结构，这里就从纯代数的角度讨论多项式的结构和性质。以下我会花较多口舌定义什么是多项式，这种看似“学究”的做法其实正是数学的抽象性和严密性所在。

　　先来看多项式的组成元素“（一元）项”，它具有形式\(ax^n\)，其中\(n\)是一个非负整数，它表示项的次数，\(a\)是某个环\(R\)或域\(F\)的元素，被称为系数，\(x\)是不定元。要特别强调的是，这里并没有定义项的实际意义，不定元可能是任何满足条件的数学概念。\(a\)和\(x^n\)之间也不能看成是某个具体的乘法，这里只是一个书写格式，项永远是作为一个整体看待的。系数为\(0\)的项被定义为互相相等的，而其它项相等的充要条件是系数和次数都相等。

　　另外，在项之间还定义有如式（1）的加法和乘法，且乘法对加法满足分配率。有了这些准备就可以定义多项式了，一个环\(R\)上的（一元）多项式是有限个非零项之和，它的最终形式是式（2）。为了叙述方便，\(0\)次项被直接写做\(a_0\)，但不要忘了其实际意义\(a_0x^0\)。系数非零的最高次项也称多项式的首项，而\(n\)也叫\(f(x)\)的次数，记作\(\deg f(x)\)。由项的定义不难断定：多项式由它的系数序列\((a_0,a_1,\cdots,a_n)\)唯一确定。环\(R\)上的所有一元多项式集合记做\(R[x]\)，不难证明在乘法和加法的定义下，\(R[x]\)构成一个环（\(0\)系数的项为零元，当\(R\)有单位元时\(x^0\)也为单位元），它叫多项式环。

\[ax^n+bx^n=(a+b)x^n;\;\;ax^m\cdot bx^n=(ab)x^{m+n}\tag{1}\]

\[f(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_1x+a_0,\;\;(a_k\in R,a_n\ne 0)\tag{2}\]

　　其实在《抽象代数》中，我们已经专门讨论过多项式的性质，故对那些已经论述过的结论，这里就不重复证明过程了。《高等代数》中的多项式是直接定义在数域上的，但其实很多结论在较弱的条件下仍然成立，下面做一些总结（很多结论直接来自抽象代数）。首先不难证明：\(R[x]\)为交换环（无零因子环、整环）的充要条件是\(R\)为交换环（无零因子环、整环），特别地，域\(F\)上的多项式环\(F[x]\)是一个含幺整环（有单位元、可交换、无零因子）。另外我们知道，一个环可以扩充为域的充要条件是：它是一个含幺整环。故系数为含幺整环的多项式环都能扩充为一个域，其中数域系数多项式的最小扩充域叫分式域。分式域的每个元素有形式\(f(x)g^{-1}(x)=\dfrac{f(x)}{g(x)}\)，其中\(g(x)\)是非零多项式。在一般数域下，且\(g^{-1}(x)\)都是新添加的元素，如果要想\(g^{-1}(x)\)仍然是一个多项式，可以添加一个条件：存在某个不可约多项式\(e(x)=0\)（请自行讨论）。

　　和其它环结构一样，对多项式的讨论也集中在其乘法分解，以下先把\(R[x]\)限定在一般的环上。如果有关系式\(f(x)=g(x)h(x)\)，则称\(g(x)\)为\(f(x)\)的因式，记作\(g(x)|f(x)\)，多项式的乘法分解其实就是因式分解。当\(f(x),g(x)\)次数相等时，且有\(f(x)=ag(x)\)，这时称它们是相伴的。这种分解讨论起来没有多大意义，以后我们只讨论因式次数比\(f(x)\)低的分解。如果两个多项式\(f(x),g(x)\)有共同的因式\(h(x)\)，则\(h(x)\)称为\(f(x),g(x)\)的公因式，次数最高的公因式则叫最大公因式，记作\((f(x),g(x))\)。后面要回答的问题自然就是：因式、分解式、（最大）公因式的存在性，以及分解式、最大公因式的唯一性（在相伴意义下）。

　　对任意多项式\(f(x),g(x)\)，如果\(g(x)\)的首项系数为可逆元，用归纳法可以证明，存在唯一多项式\(q(x),r(x)\)使得式（3）成立。这个式子说明，如果\(f(x),g(x)\)有公因式\(h(x)\)，那么\(h(x)\)也是余项\(r(x)\)的公因式，并且\(r(x)\)的次数比\(g(x)\)小。如果在把多项式限定在域上，把\(g(x),r(x)\)换成\(f_1(x),g_1(x)\)后可以继续这个过程，直至\(g_i(x)|f_i(x)\)，易知这时\(g_i(x)\)就是\(f(x),g(x)\)的最大公因式。这个方法就是大家熟悉的辗转相除法，值得提醒的是，该方法要求每个元素都可逆（或者具体问题中\(g_i(x)\)的首项可逆）。

\[f(x)=q(x)g(x)+r(x),\: \text{deg}\,r(x)1\)，则称\(p_i(x)\)是\(f(x)\)的重因式，否则称为单因式。讨论重因式有时候是很必要的（比如重根、下篇的不变子空间），为了判定重因式，代数中引进了\(f(x)\)形式导函数（6），容易证明这个形式定义的导函数同样满足式（7）。对于一个\(k\)重因式\(p_i(x)\)，利用这些式子不难证明\(f'(x)\)中\(p_i(x)\)的重数正好是\(k-1\)，故\(f(x),f'(x)\)有公因式\(p_i^{k-1}(x)\)，且\(k-1\)是最高次数。反之如果\(f(x),f'(x)\)有公因式\(p_i^{k-1}(x)\)，也易知\(f(x)\)含有因式\(p_i^k(x)\)，利用这个充要条件可以判断重因式的存在性、以及求出因式和重数。

\[f'(x)=na_nx^{n-1}+(n-1)a_{n-1}x^{n-2}+\cdots+2a_2x+a_1\tag{6}\]

\[[f(x)\pm g(x)]'=f'(x)\pm g'(x);\;\;[f(x)g(x)]'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)\tag{7}\]

　　当确定了未知元\(x\)的集合及乘法运算时（包括自身乘法和与\(R\)中元素的乘法），就可以把具体值\(a\)带入多项式\(f(x)\)的任何形式（展开或因式乘积），它们的值应该都是相等的，这个值被定义为多项式在\(a\)处的值\(f(a)\)。这里我们先把\(R\)假定为一般的含幺环，根据式（3）可知，存在唯一多项式\(q(x),r\)使得式（8）左成立。把\(a\)带入式（8）左便知\(r=f(a)\)，于是有式（8）右成立，它称为余数定理。当\(f(a)=0\)时，\(a\)称为\(f(x)\)的根，根据式（8）右可知（还要求\(R\)有单位元）：\(a\)为\(f(x)\)根的充要条件是\((x-a)\)为\(f(x)\)的因式，这便在一次项和根之间建立了联系。

\[f(x)=q(x)(x-a)+r;\;\;f(x)=q(x)(x-a)+f(a)\tag{8}\]

　　• 已知\((x-a)|f(x^n)\)，求证\((x^n-a^n)|f(x^n)\)；　　• 已知\(f(x)|f(x^n)\)，尝试讨论\(f(x)\)的根。

　　余数定理是余式（3）的特例，它要求环有单位元，且未知元满足多项式的运算律（1）。但其实如果未知元就取环\(R\)，即使\(R\)不满足交换律（从而不满足项的乘法）、而\(f(a)\)仅定义为把\(a\)带入式（2），抽象代数中已经证明了：余数定理仍然成立。这个更一般的余数定理有着更广泛的应用，一个典型代表就是的Hamilton-Caylay定理，你可以回到线性代数看看这个定理的证明，其实和抽象代数的证明本质是一样的。

　　本段的最后，我们来讨论一下多项式性质和系数环（域）的关系。对具体的多项式\(f(x),g(x)\)，先设它们的系数都属于环\(R_1\)，则它们也属于其扩环\(R_2,(R_1\subset R_2)\)。容易知道，在\(R_1[x]\)中成立的结论在\(R_2[x]\)中也一定成立，反之则不一定成立。我们比较关心这样的问题：\(R_1[x]\)的多项式如果在\(R_2[x]\)中有某个性质，那么这个性质在\(R_1[x]\)中还会有吗？在所有的性质讨论中，式（4）和唯一分解定理起到了非常重要的作用，为此我们就把讨论的内容限定在域中吧（\(F_1\subset F_2\)）。

　　式（3）的唯一性就表明了它在\(F_1[x],F_2[x]\)中是一样的，这就是说整除性（能或不能整除）在\(F_1[x],F_2[x]\)中也是一致的。继而由辗转相除法和式（4），两个多项式的最大公因式也不会随系数域而变化，特别地，两个多项式的互素关系也与系数域无关。再看看导函数\(f'(x)\)的形式，它在不同域中系数是不变的，这样重因式也是和系数域无关的。你会发现，与系数域无关的性质基本都是因式有关的。

　　以上讨论的是通用多项式的性质，它们适用于任何满足条件的多项式环。最常见的多项式其实还是数系多项式，而最常见的数系从大到小依次是复数系、实数系、有理数系，下面就按这个顺序讨论数系多项式特有的性质。数系多项式中，更加关注多项式的值和根，甚至很多因式的讨论就是通过根的方法来完成的。

　　对于复系数多项式，最重要的结论当然是代数基本定理：复系数多项式至少有一个根。这个代数基本定理在代数中却没有初等的证明方法，比较透彻的方法都需要复变函数的知识，这里我们暂时把它当一个结论使用。由上面的讨论，\(f(x)\)有复根\(z\)的等价条件是\((x-z)|f(x)\)，依次类推\(f(x)\)有最终分解式（9）。\(n\)次复系数多项式共有\(n\)个复数根（可以是重根），并且由这\(n\)个复数根和首相系数完全确定，复系数不可约多项式只有一次式。多项式最多有\(n\)个根，这一点说明如果两个多项式\(f(x),g(x)\)在不止\(n\)处相等，则它们一定是完全重合的，这个特点不管在证明还是数值计算上都有重要的应用。展开式（9）后对比系数，便可以得到大家熟悉的韦达（Vieta）公式，这里就不展示等式内容了。

\[f(x)=(x-z_1)^{n_1}(x-z_2)^{n_2}\cdots (x-z_k)^{n_k},\;(\sum n_i=n)\tag{9}\]

　　复系数多项式的彻底可分解性，即使用在其他数域的多项式上，也会有一些有趣的性质。比如任意数域上的\(f(x),p(x)\in F[x]\)，如果\(p(x)\)是一个不可约因式，从上面的讨论知道：\(p(x)\)没有复数重根。另外，如果\(f(x)\)与\(p(x)\)有某个相同复根，则它们一定是有公因式（利用公式（4））。结合这两个条件就有：如果\(f(x)\)与不可约因式\(p(x)\)有一个相同复根，则一定有\(p(x)|f(x)\)。

　　• 求证\(x^2+x+1|x^{3m+2}+x^{3n+1}+x^{3l}\)。

　　为了判断复数\(c\)是否为\(f(x)\)的\(k\)重根，利用之前的结论，只需证明\(f(c)=f'(c)=\cdots=f^{(n-1)}(c)=0\)且\(f^{n}(c)\ne 0\)。为了估算复根的半径，令\(M=\max\{\dfrac{|a_{n-1}|}{|a_n|},\cdots,\dfrac{|a_0|}{|a_n|}\}\)，这样便容易有多项式的估算式\(|f(z)|\geqslant|a_n|\left[|z|^n-M\dfrac{|z|^n-1}{|z|-1}\right]\)，显然当\(|z|-1>M\)时有\(|f(z)|>0\)，故根的半径在\(1+M\)内。

　　最后来看复系数多项式的两个应用。对任意方阵\(A\)，可以记它的特征多项式\(|\lambda I-A|\)为\(\prod(\lambda-\lambda_i)^{n_i}\)。然后对任意复数\(k\)，容易求得\(kA\)的特征多项式为\(\prod(\lambda-k\lambda_i)^{n_i}\)。把\(1\)的\(k\)阶单位根计作\(\{\omega_j\}\)，刚才的结论是说\(|\lambda I-\omega_j A|=\prod(\lambda-\omega_j\lambda_i)^{n_i}\)，把这\(k\)个式子相乘便有\(|\lambda^k I-A^k|=\prod(\lambda^k-\lambda_i^k)^{n_i}\)，从而可知\(A^k\)的特征多项式是\(\prod(\lambda-\lambda_i^k)^{n_i}\)（参考第二篇中矩阵多项式的特征值）。

　　设\(f(x)\in C[x]\)，并设其有\(r\)个不同的复根且有展开式\((x-\alpha_i)^{n_i}\)。由于\(f(x)-a\)与\(f(x)\)互质，故\(f(x)-a\)的\(s\)个不同复根与\(f(x)\)不同，设其展开式为\((x-\beta_j)^{m_j}\)。考虑到两者的导数相同，则\(f'(x)=\prod(x-\alpha_i)^{n_i-1}\prod(x-\beta_j)^{m_j-1}h(x)\)。由次数关系知\(n-r+n-s\leqslant n-1\)，从而\(r+s\geqslant n+1\)。这个结论说明，任意两个不同像\(f(a),f(b)\)的原像集合\(f^{-1}(a),f^{-1}(b)\)大于\(n\)，结合前面的结论知，它们可以唯一确定\(f(x)\)（即在两个像上原像相同的多项式也相同）。

　　现在来看更为常用的实系数多项式\(f(x)\)，可以先把它放在复数域上讨论，比如它至少有一个复根\(z\)，即有\(f(z)=0\)。对这个等式两边同时取共轭，由于系数都是实数，最终得到\(f(\bar{z})=0\)，从而\(z\)及其共轭\(\bar{z}\)同时为\(f(x)\)的根。如果\(z\)不是实数，\(z,\bar{z}\)便是两个不同的根，它们对应的因式\((x-z)(x-\bar{z})\)其实是实多项式\(g(x)=x^2+px+q\)（\(p^2-4qn\)，求证任意\(\sqrt[m]{p}\)都不是\(n\)次多项式\(f(x)\)的根。　　• 判断\(x^p+px^r+1\)的可约性。

　　整数模\(p\)（素数）的剩余类域是最常见的有限域，而有限域的好处是可以只针对有限的情况进行讨论，这个特点可以帮助判断整系数多项式\(f(x)\)的可约性。当\(f(x)\)可约时，对其取模\(p\)得到剩余类域上的多项式\(\bar{f}(x)\)，显然\(\bar{f}(x)\)也是可约的（反之不一定成立）。从而当\(\bar{f}(x)\)不可约时，\(f(x)\)一定也不可约，这里我们便有了一个判断整系数多项式不可约的新方法。判断可约性还可以有其它综合的方法，课本上举了几个利用多项式根不超过\(n\)的性质的例子，比较值得玩味，以下假设\(a_1,a_2,\cdots,a_n\)是不同的整数，请自行证明以下三个问题。

　　• 求证：\((x-a_1)(x-a_2)\cdots(x-a_n)-1\)不可约；　　• 求证：\((x-a_1)(x-a_2)\cdots(x-a_n)+1\)在\(n\)为奇数时不可约，在\(n\geqslant 6\)且为偶数时不可约；　　• 求证：\((x-a_1)^2(x-a_2)^2\cdots(x-a_n)^2+1\)不可约。

　　最后来讨论一下整系数多项式的有理根与系数的关系，假设\(f(x)\)有根\(\dfrac{p}{q}\)，则它有一次因式\(x-\dfrac{p}{q}\)，从而有本原因式\(qx-p\)。这说明\(f(x)\)的系数满足式（12），其中前两个式子可以初步圈定有理根的范围，然后通过后两个式子和其它方法可以分别验证是否为根，这样便能得到\(f(x)\)的所有有理根。

\[(qx-p)|f(x)\;\Rightarrow\;q|a_n,\;p|a_0;\;\;p+q|f(-1),\;p-q|f(1)\tag{12}\]

　　我们还可以对多元多项式进行以上类似的讨论，其中比较重要的就是对称多项式。有两种基本的常见对称多项式，一种是多项式\(\prod_i(x+x_i)\)展开式的项\(x^{n-k}\)的系数\(\sigma_k=\sum x_{i_1}\cdots x_{i_k}\)，它们被称为\(n\)元初等对称多项式。关于初等对称多项式，有一个基本定理：任何对称多项式\(f(x_1,\cdots,x_n)\)都可以唯一表示为初等对称多项式的多项式\(g(\sigma_1,\cdots,\sigma_n)\)。还有一种对称多项式是幂和式\(s_k=\sum_i x_i^k\)，牛顿公式给出了这两种对称多项式之间的关系，本段的两个结论在线性代数中都有论证。

　　很多情况下需要判断或给出两个多项式\(f(x),g(x)\)（式（13））有公因式（或相同的根）的条件，辗转相除法虽然能解决这个问题，但操作比较麻烦。现在从另一个角度讨论这个问题，在代数闭域中这两个问题等价于是否有相同的根，我们就在代数闭域中讨论这个问题。设\(f(x),g(x)\)的根分别是\(\{y_1,\cdots,y_m\},\{z_1,\cdots,z_n\}\)，式（14）可以作为\(f(x),g(x)\)是否有同根的判别式，它被称为\(f(x),g(x)\)的结式。显然结式是关于\(\{y_i,z_j\}\)的对称多项式，由基本定理可知它能写成\(\{a_i,b_j\}\)的表达式，但直接寻找答案比较困难，下面从另一个等价条件出发反向推导。

\[f(x)=a_mx^m+a_{m-1}x^{m-1}+\cdots+a_0;\;\;g(x)=b_nx^n+b_{n-1}x^{n-1}+\cdots+b_0\tag{13}\]

\[\text{Res}(f,g)=\prod_{i=1}^m\prod_{j=1}^n(y_i-z_j)=\prod_{i=1}^mg(y_i)=\prod_{j=1}^n(-1)^mf(z_j)\tag{14}\]

　　\(f(x),g(x)\)有相同根其实还等价于：存在不高于\(m-1,n-1\)次的多项式\(f_0(x),g_0(x)\)，使得\(g_0(x)f(x)=f_0(x)g(x)\)。通过比较系数其实可以得到一个关于\(f_0(x),g_0(x)\)系数的一次方程（请自行写出），方程的系数矩阵如式（15）（左半边有\(n\)列，右半边有\(m\)列），而\(f_0(x),g_0(x)\)的存在性则等价于\(|R|=0\)，下面就来看\(|R|\)的表达式。由于每一列正好是多项式的系数，可以对多项式做如下初等变换：分别把第\(k\)行的\(y_i^k\)倍加到最后一行。不难知道最后一行的前\(n\)个元素为\(0\)，而后\(m\)个元素有公因式\(g(y_i)\)。

\[R_{m+n}=\begin{bmatrix}a_0&&&b_0&&\\a_1&\ddots&&b_1&\ddots&\\\vdots&\ddots&a_0&\vdots&\ddots&b_0\\a_m&\ddots&a_1&b_n&\ddots&b_1\\&\ddots&\vdots&&\ddots&\vdots\\&&a_m&&&b_n\end{bmatrix}\tag{15}\]

　　以下先假设\(\{a_m,b_m\}\)是化1的，根据韦达定理知\(\{a_i,b_j\}\)可表示为\(\{y_i,z_j\}\)的多项式，而刚才的结论说明\(|R|\)有因式\(g(y_i)\)。又因为所有\(\{g(y_i)\}\)之间无公因式，故\(|R|\)有因式\(\prod_ig(y_i)=\text{Res}(f,g)\)，它的次数是\(mn\)。另一方面，\(|R|\)显然是\(\{y_i,z_j\}\)的齐次多项式，下面来计算它的次数。根据每一列次数递增的特点，考虑把每行的次数统一，为此仅需在每列乘上合适的式子，具体来说是在每一列分别乘上任意一个\(\{n,n-1\cdots,1,m,m-1,\cdots,1\}\)次式。这样从列来看次数增加了\(m(m+1)/2+n(n+1)/2\)，而从行来看总次数是\((m+n)(m+n+1)/2\)，相减得到\(|R|\)的次数为\(mn\)。这个结论说明\(|R|\)与\(\text{Res}(f,g)\)只相差一个常数项系数，把\(\{y_i=0,z_j=1\}\)带入便可知\(|R|=a_n^n\cdot\text{Res}(f,g)\)，教材上其实就是把\(|R|\)作为结式的定义的。

　　结式的应用自然是集中在多项式同根的问题上，有一些常见的问题都可以间接地转化为同根问题。比如求解二元多项式组\(f(x,y)=0,g(x,y)=0\)时，如果两个函数都能写成关于\(x\)（或\(y\)）的多项式，这时的结式是关于\(y\)的方程，就可以先解出\(y\)再求解\(x\)。再比如参数方程\(x=x(t),y=y(t)\)，如果这两个方程都能写成\(t\)的多项式形式，此时的结式就是只含\(x,y\)的方程，这就得到\(x,y\)的不含参方程。

　　结式也可以用于判断多项式是否有重根，我们知道\(f(x)\)有重根的充要条件是\((f(x),f'(x))\ne 1\)，设\(f(x)\)的根为\(\{x_1,\cdots,x_n\}\)，此时的结式为式（16）左。把\(f'(x)\)按\([\prod(x-x_i)]'\)展开成\(n\)项，然后就能得到式（16）右。右式可以有更简单的类似式（17）左，该式也用于判断\(f(x)\)是否有重根，它称为\(f(x)\)的判别式，它是二次多项式判别式的扩展。利用牛顿定理可知\(D(f)\)可由其系数表示，而结式便给了一个计算方法。另外，利用定义还不难得到结式和判别式的关系式（18）（19）。

\[\text{Res}(f,\,f')=\prod_{i=1}^nf'(x_i)=\prod_{i=1}^n\prod_{j\ne i}(x_i-x_j)\tag{16}\]

\[D(f)=\prod_{i\ne j}(x_i-x_j)^2=(-1)^{\frac{n(n-1)}{2}}\cdot\text{Res}(f,f')\tag{17}\]

\[\text{Res}(f,\,g_1g_2)=\text{Res}(f,\,g_1)\cdot\text{Res}(f,\,g_2)\tag{18}\]

\[D(fg)=D(f)D(g)\cdot\text{Res}^2(f,\,g)\tag{19}\]

　　• 求\(f(x)=x^n+\cdots+x+1\)的判别式。