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微分中值定理与导数的应用
一·微分中值定理 ㈠罗尔定理: 内容:f(x)在闭区间上连续,在开区间上可导,且在区间端点处函数值相同。 则f(x)在该区间内至少存在一点,该点的导数值为0。 如果是考研题的话,一般需要构造辅助函数来寻找f(x)。 P182第六题 ㈡拉格朗日中值定理 内容:f(x)在闭区间上连续,在开区间上可导, 则在该区间内至少存在一点使 f(b)-f(a)=f’(θ)(b-a)成立。(可以变形) 可以理解为:在区间内存在一点,该点的斜率与两端点连线斜率相同。 P182页最上面第一小题,课后第十小题 ㈢柯西中值定理(参数方程下的拉格朗日) 内容:f(x),F(x)在闭区间连续,开区间可导,且F’(x)≠0 则存在 三大定理用法比较多。知道定理就好,不变应万变。 二·洛必达法则 ㈠两种未定式情况:零比零型(将趋近值带入,分子分母都为0),无穷比无穷型。 在这两种情况下,分子分母可以同时求导,如得不出答案,还可以继续求导,直至得到结果 例二,例三,例五 ㈡做题过程中可能会遇见其他情况的未定式需进行变形: 碰上这几种未定式都依次进行转换,转变成那两种基本类型。(通分,取对数没啥讲的,取倒是将其中一个值变成它分之一,然后移到分母上。因为无穷大与无穷小互为倒数)无穷小为为0 例7,8,9 ㈢课后第二题,不能用洛必达的情况(虽然是无穷比无穷): 导之后分子分母极限都存在或都为无穷的情况才能用洛必达。若不存在就不能用洛必达定理(一般情况不会遇见) 三·泰勒公式 本科阶段对其要求不高,考研阶段经常用。 须记住几个常见的: 四·单调性与凹凸性 ㈠单调性:(用一阶导函数判) 一阶导函数:大于0的为增函数,小于0的为减函数。【一阶导为0的点称为驻点】 ㈡凹凸性:(用二阶导函数判) 二阶导函数:大于0的为凹函数,小于0的为凸函数,(记不住的话,考试的时候可以用个简单的抛物线心算一下)【二阶导为0的点称为拐点。它是一个点,不是横坐标】 补:瑕点:简单来说就是求极限时使分母为0的点 五·极值最值 极值求法: 利用一阶导:高中应该学过吧 利用二阶导:首先函数得有二阶导,且一阶导为0,则当二阶导小于零时为在该点取极大值,反之为极小值 利用n阶导:课本p161页第四题(表达非常清晰,不再打了) 练习:p182上面第二小题 最值 把驻点,不可导点,区间端点分别带进函数,比较大小即可 六·画图 ①列个表格,找出驻点,拐点,然后分割区间 ②写出各区间内函数增减情况 ③找出驻点,拐点的函数值 ④找出一些其他点补充一下图形准确性 ⑤画图 看两道例题,学学步骤 七·曲率(只记公式就可以) ㈠弧微分:(几种不同的函数) ㈡曲率: 参数方程曲率计算公式: 例二 ㈢曲率圆与曲率半径: 有公切线,凹向一致,曲率相同。 曲率半径与函数该点曲率互为倒数 例三,课后1,4,5 点击查看: 第四章 第五章 第七章 |
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