第五章三角函数知识点清单总结梳理

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新教材人教A版2019版数学必修第一册第五章知识点清单目录第五章　三角函数5. 1　任意角和弧度制5. 2　三角函数的概念5. 3 诱导公式5. 4 三角函数的图像与性质5. 5 三角恒等变换5. 6 函数5. 7 三角函数的应用第五章　三角函数5. 1　任意角和弧度制5. 1. 1　任意角一、角的相关概念1. 角的概念：角可以看成一条射线绕着它的端点旋转所成的图形.2. 任意角（1）正角：一条射线绕其端点按逆时针方向旋转形成的角（2）负角：一条射线绕其端点按顺时针方向旋转形成的角（3）零角：一条射线没有做任何旋转，就称它形成了一个零角3. 角的加法与减法(1)如果角α和角β的旋转方向相同且旋转量相等，那么就称α=β.(2)设α，β是任意两个角，把角α的终边旋转角β，这时终边所对应的角是α+β.(3)相反角：把射线OA绕端点O按不同方向旋转相同的量所成的两个角叫做互为相反角，角α的相反角记为-α，于是有α-β=α+(-β).二、终边相同的角1. 所有与角α终边相同的角,连同角α在内,可构成一个集合S={β|β=α+k·360°,k∈Z},即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和.三、象限角和轴线角1. 象限角、轴线角的概念　　在平面直角坐标系内，使角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，那么，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角. 如果角的终边在坐标轴上，那么就认为这个角不属于任何一个象限，我们称其为轴线角.2. 象限角的集合表示象限角 角的集合第一象限角 {α|k·360°第二象限角 {α|k·360°+90°第三象限角 {α|k·360°+180°第四象限角 {α|k·360°-90°3. 轴线角的集合表示角的终边的位置 角的集合在x轴的非负半轴上 {α|α=k·360°，k∈Z}在x轴的非正半轴上 {α|α=180°+k·360°，k∈Z}在y轴的非负半轴上 {α|α=90°+k·360°，k∈Z}在y轴的非正半轴上 {α|α=270°+k·360°，k∈Z}在x轴上 {α|α=k·180°，k∈Z}在y轴上 {α|α=90°+k·180°，k∈Z}在坐标轴上 {α|α=k·90°，k∈Z}四、角的对称和垂直问题1. 角的终边是一条射线，当两个角的终边具有对称或垂直关系时，这两个角也具有一定的关系.角α，β的终边位置关系 角α，β的关系关于x轴对称 β=-α+k·360°(k∈Z)关于y轴对称 β=180°-α+k·360°(k∈Z)关于原点对称 β=α+180°+k·360°(k∈Z)垂直 β=α±90°+k·360°(k∈Z)五、终边相同的角的表示1. 求在某个范围内与已知角终边相同的角的步骤(1)先将已知角表示成一般形式α+k·360°(k∈Z)，其中0°≤α(2)采用赋值法或不等式法求解，确定k的值；(3)写出适合条件的角.2. 求终边在某条射线或直线上的角的集合的策略(1)若所求角的终边在某条射线上，则角之间相差360°的整数倍，所求角的集合为{β|β=α+k·360°，k∈Z}；(2)若所求角的终边在某条直线上，则角之间相差180°的整数倍，所求角的集合为{β|β=α+k·180°，k∈Z}.六、区域角的表示1. 区域角是指终边在坐标系的某个区域内的角. 表示时可分为三步：(1)按逆时针方向找到区域的起始和终止边界；(2)由小到大分别标出起始和终止边界对应的在-360°到360°范围内的角α和β，并将该范围内的区域角表示为{x|α(3)起始、终止边界对应的角α、β再加上360°的整数倍，即得区域角的范围.七、象限角的判断1. 角α所在象限的判断方法：根据终边相同的角的概念，把角α转化到0°~360° 范围内，则转化后的角的终边落在第几象限，角α就是第几象限角.2. 角nα所在象限的判断方法：由角α的范围求出角nα 的范围，再利用终边相同的角所在象限的判断方法进行判断即可.【注意】不要忽略nα为轴线角的情况.3. 角 (n≠0)所在象限的判断方法(1)分类讨论法：根据角α所在象限，写出角α的范围(用含有k的式子表示)，由此求出角的范围，然后对k进行分类讨论，从而判断角的终边所在象限.(2)几何法：先把各象限分为n等份，再从x 轴非负半轴的上方起，按逆时针方向把这4n个区域依次循环标上一、二、三、四. 角α是第几象限角，则标号为几的区域即为角的终边所在区域.5. 1. 2　弧度制一、角度制与弧度制1. 角度制与弧度制的定义角度制 用度作为单位来度量角的单位制叫做角度制，规定1度的角等于周角的弧度制 长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度单位用符号rad表示，读作弧度. 用弧度作为单位来度量角的单位制叫做弧度制【注意】(1)用弧度为单位表示角的大小时，“弧度”或“rad”可以省略不写；用角度为单位表示角的大小时，“度”或“°”不可以省略.(2)不管是用弧度制还是用角度制为单位表示的角，其大小都是一个与半径的大小无关的定值.2. 弧度数：在半径为r的圆中，弧长为的弧所对的圆心角为α rad，那么|α|=.其中，α的正负由角α的终边的旋转方向决定. 一般地，正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0.3. 弧度制建立的意义角的概念推广后，在弧度制下，角的集合与实数集R之间建立起一一对应的关系.二、角度制与弧度制的换算1. 角度与弧度的互化角度化弧度 弧度化角度360°=2π rad 2π rad=360°180°=π rad π rad=180°1°=rad≈0. 017 45 rad 1 rad=≈57. 30°=57°18'角度数×=弧度数 弧度数×=角度数2. 一些特殊角的度数与弧度数的对应关系度 0° 30° 45° 60° 90° 120° 135° 150° 180° 270° 360°弧度 0 π 2π三、扇形的弧长及面积公式1. 设扇形的半径为R，弧长为l，圆心角为n°(α为其圆心角的弧度数)，则角度制 弧度制扇形的弧长 l= l=αR扇形的面积 S= S=αR2=lR四、求扇形的弧长和面积1. 涉及扇形的周长、弧长、圆心角、面积等的计算，关键是先分析题目中已知哪些量，求哪些量，然后灵活运用扇形的弧长公式l=αR，面积公式S=αR2=lR直接求解或列方程(组)求解.2. 扇形的周长及面积的最值问题(1)当扇形的周长一定时，扇形的面积有最大值. 其求法是把面积S转化为关于半径R的二次函数，但要注意R的取值范围，还要注意扇形的弧长l必须满足0(2)当扇形的面积一定时，扇形的周长有最小值. 其求法是把周长C转化为关于半径R的函数，但要注意R的取值范围.5. 2　三角函数的概念5. 2. 1　三角函数的概念一、三角函数的概念1. 利用单位圆定义任意角的三角函数前提 设α是一个任意角，它的始边与x轴非负半轴重合，终边与圆心为坐标原点的单位圆交于点P(x，y)概 念 正弦函数 点P的纵坐标y叫做α的正弦函数，记作sin α，即y=sin α余弦函数 点P的横坐标x叫做α的余弦函数，记作cos α，即x=cos α正切与 正切函数 点P的纵坐标与横坐标的比值叫做α的正切，记作tan α，即=tan α(x≠0)，以此比值为函数值的函数叫做α的正切函数三角函数 正弦函数、余弦函数和正切函数统称为三角函数，通常将它们记为： 正弦函数y=sin x，定义域为R； 余弦函数y=cos x，定义域为R； 正切函数y=tan x，定义域为2. 利用角α的终边上任意一点的坐标定义三角函数：如图，α为一个任意角，其始边与x轴非负半轴重合，在角α的终边上任取一点P(异于原点O)，其坐标为(x，y)，且|OP|=r=，则sin α=，cos α=，tan α= (x≠0).

二、三角函数值在各象限的符号1. 三角函数值在各象限的符号如图.

2. 记忆口诀：“一全正、二正弦、三正切、四余弦”，即第一象限各三角函数值均为正，第二象限只有正弦值为正，第三象限只有正切值为正，第四象限只有余弦值为正.三、公式一sin(α+k·2π)=sin α，cos(α+k·2π)=cos α，tan(α+k·2π)=tan α，其中k∈Z.四、特殊角的三角函数值α 0 πsin α 0 1 0 -1cos α 1 0 -1 0tan α 0 1 — -1 0 —五、利用三角函数的定义求值1. 利用三角函数的定义求一个角的三角函数值的几种情况(1)若已知角α的大小，只需确定出角α的终边与以坐标原点为圆心的单位圆的交点坐标，即可求出角α的各三角函数值.(2)若已知角α的终边上一点P(x，y)(x≠0)是以坐标原点为圆心的单位圆上的一点，则sin α=y，cos α=x，tan α=(3)已知角α终边上任意一点P(x，y)(x≠0)的坐标时，求出r=，则sin α=，cos α=，tan α=. 当角α的终边上点的坐标以参数形式给出时，要根据问题的实际情况对参数进行分类讨论.(4)角的终边在直线上时，注意到角的终边为射线，所以应分两种情况进行处理，分别取两条射线上异于原点的任意一点的坐标，再利用三角函数的定义求解.六、判断三角函数值在各象限的符号1. 判断三角函数值符号的两个步骤(1)确定角所在的象限；(2)利用三角函数值的符号规律：“一全正、二正弦、三正切、四余弦”来判断符号.七、公式一的应用1. 公式一的实质是终边相同的角的同一三角函数值相等.利用公式一化简求值的步骤：(1)定形：将已知的任意角写成2kπ+α的形式，其中α∈[0，2π)，k∈Z.(2)转化：根据公式一，转化为求角α的某个三角函数值.(3)求值：求出角α的三角函数值.5. 2. 2　同角三角函数的基本关系一、同角三角函数的基本关系1. 平方关系：同一个角α的正弦、余弦的平方和等于1，即sin2α+cos2α=1.2. 商数关系：同一个角α的正弦、余弦的商等于角α的正切，即=tan α{α≠kπ+，k∈Z}.二、已知一个三角函数值求其余两个三角函数值1. 利用同角三角函数的平方关系sin2α+cos2α=1和商数关系 =tan α，可以实现在sin α，cos α，tan α三个值之间“知一求二”，即知道其中一个可以求其余两个.2. 若题目中没有指出α是第几象限角，则必须根据题设条件推断α可能是第几象限的角，再分象限加以讨论.三、关于sin α，cos α的齐次式的求值问题1. 已知tan α=m， 可以求 的值，方法是将分子、分母同时除以cos α (或cos2α)，将其化成关于tan α 的式子，再求值.2. 已知tan α=m，求asin2α+bsin αcos α+ccos2α 的值，可将其看成分母是1的分式，利用1=sin2α+cos2α 进行代替后，分子、分母同时除以cos2α，得到关于tan α 的式子，再求值.四、利用sin α±cos α与sin αcos α之间的关系求值1. 若已知sin α±cos α，sin α·cos α 中的一个，则可以利用方程思想进一步求得sin α，cos α 的值，从而解决相关问题. 涉及的三角恒等式有：(1)(sin α+cos α)2=1+2sin αcos α；(2)(sin α-cos α)2=1-2sin αcos α；(3)(sin α+cos α)2+(sin α-cos α)2=2；(4)(sin α-cos α)2=(sin α+cos α)2-4sin α·cos α.五、利用同角三角函数的基本关系化简或证明1. 利用同角三角函数的基本关系化简或证明时常用的方法(1)化切为弦，即把正切函数化成正弦、余弦函数，从而减少函数名称,达到化简的目的.(2)对于含有根号的，常把根号下的式子化成完全平方式，然后去根号,达到化简的目的.(3)对于含高次的三角函数式，往往借助因式分解，或构造出sin2α+cos2α=1，以降低次数，达到化简的目的.5. 3 诱导公式一、诱导公式公式一：sin(α+k·2π)=sin α，cos(α+k·2π)=cos α，tan(α+k·2π)=tan α，其中k∈Z.公式二：sin(π+α)=-sin α，cos(π+α)=-cos α，tan(π+α)=tan α.公式三：sin(-α)=-sin α，cos(-α)=cos α，tan(-α)=-tan α.公式四：sin(π-α)=sin α，cos(π-α)=-cos α，tan(π-α)=-tan α.公式五：sin =cos α，cos =sin α.公式六：sin =cos α，cos =-sin α.说明：诱导公式可以根据角的终边的对称性，结合三角函数的定义进行推导和理解.二、利用诱导公式解决给角求值问题1. 诱导公式记忆口诀：奇变偶不变，符号看象限.　　诱导公式可以统一概括为“k·±α(k∈Z)”的各三角函数值的化简公式.(1) “奇”“偶”是对k·±α(k∈Z)中的倍数k来讲的.(2)“变”与“不变”是针对三角函数名称而言的. 当k为奇数时，正弦变余弦，余弦变正弦；当k为偶数时，函数名不变.(3)“象限”是指k·±α(k∈Z)中，将α看成锐角时，k·±α(k∈Z)所在的象限，根据“一全正，二正弦，三正切，四余弦”的符号规律确定角k·±α对应三角函数值的符号.2. 诱导公式的应用　　利用诱导公式解决给角求值问题的步骤：

诱导公式的应用非常灵活，做题时方法不唯一.如：cos=coscos=cos-cos=-或cos=coscos=cos-sin=-三、利用诱导公式解决条件求值问题1. 解决条件求值问题时，首先要仔细观察条件中的已知式与所求式的角、函数名称及有关运算之间的差异及联系，再将已知式向所求式转化，或将所求式向已知式转化.2. 当角比较复杂时，要注意分析两个角之间是否具有互余、互补关系，或分析两个角的和、差是不是特殊角等. 常见的互余关系： -α与+α， +α与-α 等；常见的互补关系： +α与-α， +α与-α等.四、利用诱导公式化简、证明三角函数式1. 化简三角函数式的方法和技巧(1)方法：化简三角函数式的关键是抓住函数名称之间的关系和角之间的关系，灵活应用相关的公式及变形解决问题.(2)技巧：①异名化同名；②异角化同角；③切化弦.2. 证明三角函数式的常用方法(1)由左边推至右边或由右边推至左边，遵循的是化繁为简的原则.(2)证明左边=A，右边=A，则左边=右边，这里的A起着桥梁的作用.(3)通过作差或作商证明，即左边-右边=0或=1(右边≠0).5. 4 三角函数的图像与性质5. 4. 1　正弦函数、余弦函数的图象一、正弦函数、余弦函数的图象函数 y=sin x(x∈R) y=cos x(x∈R)图象 图象名称 正弦曲线 余弦曲线函数 y=sin x(x∈R) y=cos x(x∈R)图象画法 五点法五个 关键点 (0，0)， ， (π，0)， ， (2π，0) (0，1)，，(π，-1)， ，(2π，1)曲线 的关系 余弦曲线可以看作是将正弦曲线向左平移个单位长度得到的 或向右平移个单位长度得到的二、用“五点法”作正弦(型)函数、余弦(型)函数的图象1. “五点法”是作正弦(型)函数、余弦(型)函数图象最常用的方法，作形如y=asin x+b(或y=a cos x+b)，x∈[0，2π]的图象的三个步骤：列表、描点、连线. 使用“五点法”作函数图象时，应注意以下两点：(1)“五点”是指在一个周期内，函数图象的最高点、最低点以及图象与坐标轴的交点.(2)作图时要注意图象的对称性和凹凸方向.三、正、余弦(型)函数的图象的应用1. 用三角函数图象解三角不等式的步骤(1)作出相应的正弦函数或余弦函数在[0，2π]上的图象；(2)写出不等式在区间[0，2π]上的解集；(3)根据公式一写出不等式在定义域内的解集.2. 对于含三角函数的方程的解的个数问题，一般无法直接求解，常把它转化为两个函数的图象的交点个数问题，通过图象可以比较直观地解决问题，这正是数形结合思想方法的应用.5. 4. 1　正弦函数、余弦函数的性质一、周期函数1. 设函数f(x)的定义域为D，如果存在一个非零常数T，使得对每一个x∈D都有x+T∈D，且f(x+T)=f(x)，那么函数f(x)就叫做周期函数，非零常数T 叫做这个函数的周期.2. 如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期.【注意】(1)如果T是函数f(x)的一个周期，那么nT(n∈Z且n≠0)也是f(x)的周期.(2)并非所有的周期函数都有最小正周期，如f(x)=C(C为常数，x∈R)，所有的非零实数T都是它的周期，不存在最小正周期.(3)今后本书中涉及的周期，如果不加特殊说明，一般都是指函数的最小正周期.二、正弦函数、余弦函数的性质函数 y=sin x y=cos x图象 定义域 R值域 [-1，1]周期 2kπ(k∈Z且k≠0)最小正周期 2π奇偶性 奇函数 偶函数函数 y=sin x y=cos x图象的对称轴 直线x=kπ+，k∈Z 直线x=kπ，k∈Z图象的对称中心 (kπ，0)，k∈Z ，k∈Z单调性 在，k∈Z上单调递增， 在，k∈Z上单调递减 在[2kπ-π，2kπ]，k∈Z上单调递增， 在[2kπ，(2k+1)π]，k∈Z上单调递减最值 x=+2kπ，k∈Z时，ymax=1； x=-+2kπ，k∈Z时，ymin=-1 x=2kπ，k∈Z时，ymax=1； x=π+2kπ，k∈Z时，ymin=-1三、三角函数的周期性 1. 求三角函数周期的方法(1)定义法：紧扣周期函数的定义，寻求对定义域内的任意实数x都满足f(x+T)=f(x)的非零常数T. 该方法主要适用于抽象函数.(2)公式法：对形如y=Asin(ωx+φ)和y=Acos(ωx+φ)(其中A，ω，φ是常数，且A≠0，ω≠0)的函数，可利用T=来求周期. 特别注意：y=|Asin(ωx+φ)|(A≠0，ω≠0)的最小正周期T=.(3)图象法：可画出函数的图象，借助图象判断函数的周期. 求含绝对值的函数的周期时一般采用此法.四、与正、余弦函数有关的函数的奇偶性、对称性 1. 判断与正、余弦函数有关的函数的奇偶性时，先判断其定义域是否关于原点对称，有时需要运用诱导公式将函数式化简，然后验证f(-x)是否等于-f(x)或f(x).2. 函数y=Asin(ωx+φ)和y=Acos(ωx+φ)(A>0，ω>0)的图象的对称轴过其最高点或最低点，对称中心为图象与x轴的交点，可按照求正、余弦曲线的对称轴和对称中心的方法，把ωx+φ作为一个整体进行求解.五、与正、余弦函数有关的函数的单调性 1. 研究与正、余弦函数有关的函数的单调性的策略及注意点(1)结合正、余弦函数的图象，熟记它们的单调区间.(2)求函数y=Asin(ωx+φ)或y=Acos(ωx+φ)(A>0，ω>0)的单调区间，应采用“换元法”整体代换，将“ωx+φ”看作一个整体“z”，即通过求y=Asin z或y=Acos z的增(减)区间得到原函数的增(减)区间.【注意】当x的系数ω0时相反.六、利用单调性比较三角函数值的大小1. 利用单调性比较三角函数值的大小的步骤(1)依据诱导公式把三角函数化为同名函数；(2)依据诱导公式把角化到同一个单调递增(减)区间内，对于正弦函数来说，一般将两个角转化到或内，对于余弦函数来说，一般将两个角转化到[-π，0]或[0，π]内；(3)依据三角函数的单调性比较大小.七、与正、余弦函数有关的函数的值域或最值 1. 常见的求与正、余弦函数有关的函数的值域(最值)的类型及解法(1)形如y=asin x(或y=acos x)的函数，可利用正弦函数、余弦函数的有界性求解，要注意对a 的正负的讨论.(2)形如y=Asin(ωx+φ)+B (或y=Acos(ωx+φ)+B)的函数，可先由定义域求得ωx+φ 的范围，然后求得sin(ωx+φ)(或cos(ωx+φ)) 的范围，最后求得值域(最值).(3)形如y=asin2x+bsin x+c(a≠0)的函数，可利用换元思想，设t=sin x，转化为二次函数y=at2+bt+c求值域(最值). 注意t的范围需要根据定义域来确定.(4)形如y= (ac≠0)的函数的值域(最值)，可以用分离常量法求解，也可以利用正弦函数的有界性建立关于y的不等式反解出y.5. 4. 3　正切函数的性质与图象一、正切函数的图象与性质函数 y=tan x图象定义域周期性 最小正周期是π奇偶性 奇函数单调性 在每一个区间(k∈Z)上都单调递增值域 R图象的对称性 正切曲线是中心对称图形，对称中心的坐标为 (k∈Z)， 没有对称轴二、与正切函数有关的函数的定义域、对称性、奇偶性、周期性1. 定义域、对称性（1）研究函数的性质时，首先要确定函数的定义域，求与正切函数有关的函数的定义域时，除了满足函数定义域的一般要求外，还要注意y=tanx有意义时，x≠+kπ，k∈Z（2）对于正切型函数y=Atan(ωx+φ)(A≠0，ω>0)的定义域、对称性问题，解题时一般将“ωx+φ”视为一个整体. 令ωx+φ≠kπ+，k∈Z，求解x即可得其定义域；令ωx+φ=，k∈Z，求解x即可得其图象的对称中心.2. 奇偶性：y=tan x是奇函数，其图象关于原点对称. 若y=tan(ωx+φ)是奇函数，则φ= (k∈Z).3. 周期性：函数y=Atan(ωx+φ)(A≠0)的最小正周期为T=，常常利用此公式来求与正切函数有关的函数的周期. 解与正切函数有关的三角不等式时，先确定在一个周期内使不等式成立的ωx+φ的范围，再根据正切函数的周期性，得出ωx+φ满足的不等式并求解.三、正切函数的单调性及应用 1. 正切型函数y=Atan(ωx+φ)(A>0，ω≠0，φ是常数)的单调区间的求法(1)若ω>0，由于y=tan x在每一个单调区间上都是增函数，故可用“整体代换”的思想，令kπ-(2)若ωφ)，即把x的系数化为正值，再利用“整体代换”的思想求解，求得x的取值范围，即得原函数的减区间.2. 利用正切函数的单调性比较大小的步骤(1)运用函数的周期性或诱导公式将角化到同一单调区间内；(2)运用单调性比较大小.5. 5 三角恒等变换5. 5. 1　两角和与差的正弦、余弦和正切公式一、两角和与差的正弦、余弦和正切公式S(α+β)：sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β，S(α-β)：sin(α-β)=sin αcos β-cos αsin β.C(α+β)：cos(α+β)=cos αcos β-sin αsin β，C(α-β)：cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β.T(α+β)：tan(α+β)= ，T(α-β)：tan(α-β)= .【记忆技巧】C(α+β)，C(α-β)：“同名相乘，符号反”. S(α+β)，S(α-β)：“异名相乘，符号同”二、二倍角的正弦、余弦和正切公式S2α：sin 2α=2sin αcos α.C2α：cos 2α=cos2α-sin2α=1-2sin2α=2cos2α-1.T2α：tan 2α=三、两角和与差的正弦、余弦公式的应用1. 给角求值　　此类题目涉及两角和与差公式的正用和逆用，sin(α+β) =sin αcos β+cos αsin β即为正用， sin αcos β+cos αsin β=sin(α+β)即为逆用. 公式的逆用是三角函数式变形的重要手段，有时还需把三角函数式中的系数0， ， ， 等视为某个特殊角的三角函数值，从而将常数换为三角函数使用. 例如： cos α- sin α=sin cos α-cos sin α=sin .2. 给值求值（1）解决给值求值的问题时，应先分析已知角与所求角间的关系，再考虑三角函数名称的联系，最后选择合适的公式求值.（2）解题关键是将所求角用已知角表示出来，即角的代换. 常见的角的代换的形式：α=(α+β)-β，α=β-(β-α)，α= [(α+β)+(α-β)]= [(α+β)-(β-α)]， =-，α+β=(2α+β)-α，2α=(α+β)+(α-β)，2β=(α+β)-(α-β)等.3. 给值求角（1）解决此类题目的关键是求出所求角的某一三角函数值，而三角函数的选取一般要根据所求角的范围来确定， 最好是角的取值范围在该函数的单调区间内. 当所求角的范围是(0，π)或(π，2π)时，一般求余弦值；当所求角的范围是或时，一般求正弦值.四、两角和与差的正切公式的应用1. “1”的代换　　在T(α±β)中，若分子中出现“1”，则常利用1=tan 来代换，以达到化简求值的目的，如=tan=tan等.2. 整体意识　　若化简的式子中出现了“tan α±tan β”及“tan α·tan β”两个整体，常考虑T(α±β)的变形公式：①tan α±tan β=tan(α±β)(1 tan αtan β)，②1 tan α·tan β= .五、利用二倍角公式进行化简、求值1. 二倍角公式的变形1±sin 2α=sin2α+cos2α±2sin αcos α=(sin α±cos α)2.1+cos 2α=2cos2α；cos2α= .1-cos 2α=2sin2α；sin2α=2. 化简、求值的技巧(1)注意公式的灵活应用，如：①sin 2x=-cos =-cos =1-2cos2 =2sin2 -1.②cos 2x=sin =sin =2sin cos .(2)注意特殊角的三角函数与特殊值的互化.(3)对于含分式的式子，应分别对分子、分母进行变形处理，有公因式的提取公因式后进行约分.(4)对于含二次根式的式子，要注意二倍角公式的逆用.(5)注意角与角之间的隐含关系，如互余、互补等.(6)注意“1”的恒等变形，如tan 45°=1，sin2α+cos2α=1等.5. 5. 2　简单的三角恒等变换一、三角变换公式名称 内容半角公式 sin =±；cos =±；tan =±==升幂公式 cos 2α=cos2α-sin2α=2cos2α-1=1-2sin2α； tan 2α=降幂公式 cos2α=； sin2α=积化和差公式 sin θcos φ= [sin(θ+φ)+sin(θ-φ)]； cos θsin φ= [sin(θ+φ)-sin(θ-φ)]； cos θcos φ= [cos(θ+φ)+cos(θ-φ)]； sin θsin φ=- [cos(θ+φ)-cos(θ-φ)]和差化积公式 sin θ+sin φ=2sincos； sin θ-sin φ=2cossin； cos θ+cos φ=2coscos； cos θ-cos φ=-2sinsin辅助角公式 asin x+bcos x=sin(x+φ)，其中tan φ=二、半角公式的应用1. 利用半角公式求值的思路(1)看角：看已知角与待求角的二倍关系.(2)明范围：求出相应半角的范围，为定符号做准备.(3)选公式：涉及半角公式的正切值时，常利用tan==计算，涉及半角公式的正、余弦值时，常利用sin2=，cos2=计算.三、三角函数式的化简与三角恒等式的证明1. 化简三角函数式的基本思路　　三角函数式的化简是三角恒等变换的一个重要方面，其基本方法是统一角，统一三角函数的名称.常用方法：异名函数化为同名函数，异角化为同角，异次化为同次，弦切互化，特殊角的三角函数与特殊值互化等. 化简的结果应满足以下几点：①能求值的尽量求值；②函数名称尽量少；③项数尽量少；④次数尽量低；⑤分母、根号下尽量不含三角函数.2. 证明三角恒等式的思路　　观察、分析等式两端的结构，从两端角的差异、三角函数名称及结构的差异入手，寻求证明途径，左右归一或消除等式两端的差异，达到证明的目的.四、辅助角公式及其应用辅助角公式对三角函数式的化简具有重大意义，基本形式为y=asin x+bcos x=sin(x+φ)，其中tan φ= . 运用辅助角公式的前提条件有三个：① 同角(均为x)，②齐一次(均为一次的)，③正余全(一个是sin x，一个是cos x).　　辅助角公式的应用从易到难有三个层次：　　第一个层次：同角，齐一次. 举例：y=sin x- cos x=2sin .第二个层次：不同角，齐一次. 举例：y=sin x+cos .分析：由题目可确定研究对象为x，需要把cos 展开.y=sin x+cos=sin x+cos x-sin x=sin x+cos x=sin.第三个层次：不同角，非齐一次. 举例：y=4sin xcos-.分析：需要先把y=4sin xcos-中cos展开，再降幂，转化为齐一次.y=4sin x-=2sin x·cos x+2sin2x-=sin 2x-cos 2x=2sin.5. 6 函数一、参数A，ω，φ对函数y=Asin(ωx+φ)的图象的影响1. φ对y=sin(x+φ)的图象的影响：把函数y=sin x图象上的所有点向左(当φ>0时)或向右(当φ2. ω(ω>0)对y=sin(ωx+φ)的图象的影响一般地，函数y=sin(ωx+φ)(ω>0)的周期是，把y=sin(x+φ)图象上所有点的横坐标缩短 (当ω>1时)或伸长 (当03. A(A>0)对y=Asin(ωx+φ)的图象的影响　　一般地，函数y=Asin(ωx+φ)的图象，可以看作是把y=sin(ωx+φ)图象上所有点的纵坐标伸长 (当A>1时)或缩短 (当0二、通过图象变换得到y=Asin(ωx+φ)(A>0，ω>0)的图象的过程1. 先平移后伸缩　 y=sin x的图象 y=sin(x+φ)的图象y=sin(ωx+φ)的图象 y=Asin(ωx+φ)的图象.2. 先伸缩后平移　 y=sin x的图象 y=sin ωx的图象y=sin(ωx+φ)的图象 y=Asin(ωx+φ)的图象.　　图象变换的注意点：(1)横向伸缩中的倍数变化. (2)先平移后伸缩与先伸缩后平移中平移长度的区别.三、函数图象的平移变换 1. 一般地，函数y=Asin(ωx+φ)(A>0，ω>0，x∈R)的图象可以由y=sin x的图象经过平移变换和伸缩变换得到. 在图象变换中要注意变换的次序：可以先平移后伸缩，也可以先伸缩后平移，但是两种变换次序中，平移的量是不同的. 先平移后伸缩，平移的量是|φ|个单位长度；先伸缩后平移，平移的量是个单位长度，这是容易出错的地方，应特别注意.2. 不同名三角函数之间的变换方法(1)利用诱导公式，寻找不同名三角函数之间的关系，主要利用±α化简.(2)用诱导公式将不同名三角函数化为同名三角函数，再根据平移、伸缩变换得出最终结果.四、由图象求三角函数的解析式1. 根据三角函数的图象求y=Asin(ωx+φ)的解析式的思路(1)A的确定：一般可由图象上的最高点、最低点的纵坐标来确定|A|.(2)ω的确定：因为T= ，所以往往通过求周期T来确定ω. 图象上相邻的两个对称中心间的距离为，相邻的两条对称轴之间的距离为，相邻的对称轴与对称中心之间的距离为.(3)φ的确定：以“五点法”中的第一个点 (也叫初始点)作为突破口来确定φ，注意要根据图象的升降情况找准第一个点的位置.　　依据“五点法”作图，点的序号与式子的对应关系如下：　　“第一点”(即图象上升时与x轴的交点)：ωx+φ=0；　　“第二点”(即图象的“峰点”)：ωx+φ=；　　“第三点”(即图象下降时与x轴的交点)：ωx+φ=π；　　“第四点”(即图象的“谷点”)：ωx+φ=；　　“第五点”(即图象第二次上升时与x轴的交点)：ωx+φ=2π.五、三角函数图象与性质的综合应用1. 用“五点法”作函数y=Asin(ωx+φ)图象的步骤(1)列表.ωx+φ 0 π 2πx - - - - -y 0 A 0 -A 0(2)描点.(3)连线得函数在一个周期内的图象.(4)通过左右平移得到y=Asin(ωx+φ)，x∈R的图象.2. 研究函数y=Asin(ωx+φ)性质的基本策略(1)将所给函数的解析式转化为y=Asin(ωx+φ)的形式；(2)熟记正弦函数y=sin x的图象与基本性质；(3)充分利用整体代换思想解决问题；(4)熟记有关y=Asin(ωx+φ)的奇偶性、单调性及其图象的对称性等重要结论.5. 7 三角函数的应用一、描述简谐运动的物理量1. 简谐运动可以用函数y=Asin(ωx+φ)，x∈[0，+∞)表示，其中A>0，ω>0.(1)A是简谐运动的振幅，它是做简谐运动的物体离开平衡位置的最大距离；(2)周期T=，它是做简谐运动的物体往复运动一次所需要的时间；(3)频率由公式 f==给出，它是做简谐运动的物体在单位时间内往复运动的次数；(4)ωx+φ称为相位；(5)x=0时的相位φ称为初相.二、三角函数模型的应用1. 匀速圆周运动、简谐运动和交变电流都是理想化的运动变化现象，可以用三角函数模型准确地描述它们的运动变化规律.2. 用函数模型解决实际问题的一般步骤　　收集数据→画散点图→选择函数模型→求解函数模型→检验.三、三角函数模型在物理中的应用　　常涉及的物理学问题有单摆、光波、电流、机械波等，其共同的特点是具有周期性. 处理物理学问题时，要明确物理概念的意义，此类问题往往涉及频率、振幅等概念，因此要熟知其意义并与对应的三角函数知识结合解题.四、三角函数模型在实际生活中的应用1. 解与三角函数有关的应用问题的基本步骤(1)审清题意：读懂题目中的“文字”“图象”“符号”等语言，理解所反映的实际问题的背景，提炼出相应的数学问题.(2)建立函数模型：整理数据，引入变量，找出变化规律，运用已掌握的三角函数知识、物理知识及其他相关知识建立关系式，即建立三角函数模型.(3)求解函数模型：利用所学过的三角函数知识求解建立的三角函数模型.(4)得出结论：将所得结果翻译成实际问题的答案，并检验.五、求形如y=Asin(ωx+φ)(其中ω>0)的单调区间时，要视“ωx+φ”为一个整体，通过列不等式求解；研究y=asin x+bcos x的单调性时，要先利用辅助角公式把函数化为y=sin(x+φ)的形式，再进行研究；研究y=asin2x+bsin xcos x+ccos2x+d的单调性时，要先利用sin2x=，cos2x=降幂，然后利用辅助角公式把函数化为y=Asin(2x+φ)+B的形式，再进行研究.

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