多项式
最大公因式与互素
记 为数域 上的全体多项式,![f(x),g(x) \in K[a].](https://math.jianshu.com/math?formula=f(x)%2Cg(x)%20%5Cin%20K%5Ba%5D.)
若 ,且 ,证明:存在唯一的一对多项式 ,使得 ,其中 ;
设 ,求多项式 使得 ,且
proof
存在性.由于 ,所以存在 ,使得
这意味着 让 作带余除法,设 ,则 ,且 ,从而
现在记 ,则\begin{eqnarray}
u(x)f(x)+v(x)g(x)=1 \label{uv1}
\end{eqnarray}
如果 结合 可知 ,从而有
这显然矛盾,所以![\deg(v(x))\deg(f(a))](https://math.jianshu.com/math?formula=%5Cdeg(v(x))%3C%5Cdeg(f(a)))
唯一性.设还存在 满足
其中 那么上式与(1)式相减可得
由于 所以 而 ,所以只能是 ,即 ,同理也有 .
首先对 作带余除法,可得
其中 再让 与 作带余除法,有
其中 由此可知 且根据上述两式可知
记
则 ,在 .
设 为两个不全为零的多项式, 是一个正整数,证明:![( f ( x ) ,g ( x ) ) ^ { m } = ( f ^ { m } ( x ) ,g ^ { m } ( x ) ) .](https://math.jianshu.com/math?formula=(%20f%20(%20x%20)%20%2Cg%20(%20x%20)%20)%20%5E%20%7B%20m%20%7D%20%3D%20(%20f%20%5E%20%7B%20m%20%7D%20(%20x%20)%20%2Cg%20%5E%20%7B%20m%20%7D%20(%20x%20)%20)%20.)
proof
首先设 且 那么
进而
而若 则存在次数大于零的不可约多项式 使得 那么结合不可约多项式的性质可知 这与 矛盾.所以 ,进而
![( f ^ { m } ( x ) ,g ^ { m } ( x ) ) = d ^ { m } ( x ) = ( f ( x ) ,g ( x ) ) ^ { m } .](https://math.jianshu.com/math?formula=(%20f%20%5E%20%7B%20m%20%7D%20(%20x%20)%20%2Cg%20%5E%20%7B%20m%20%7D%20(%20x%20)%20)%20%3D%20d%20%5E%20%7B%20m%20%7D%20(%20x%20)%20%3D%20(%20f%20(%20x%20)%20%2Cg%20(%20x%20)%20)%20%5E%20%7B%20m%20%7D%20.)
已知 是次数不超过3的首项系数为1的互异多项式,且 求 和 的最大公因式.
solution
注意到 而 的根为 其中 同时 与 正好是 的根,所以剩下的 就是
的四个复数根.由于 所以 也是 的根,代入就有
结合 及 可得
解方程得 于是有 是 的公因式.而已知 是次数不超过3的首1互异多项式,所以它们的最大公因式的次数一定小于等于2,于是![( f _ { 1 } ( x ) ,f _ { 2 } ( x ) ) = x ^ { 2 } - 1 .](https://math.jianshu.com/math?formula=(%20f%20_%20%7B%201%20%7D%20(%20x%20)%20%2Cf%20_%20%7B%202%20%7D%20(%20x%20)%20)%20%3D%20x%20%5E%20%7B%202%20%7D%20-%201%20.)
不可约多项式的应用
(华东师范大学,2022)设 是次数大于零的整系数多项式,若 是 的根,证明: 也是 的根.
proof
构造多项式![g(x)=(x-2+ \sqrt {3} )(x-2- \sqrt {3} )= x^{2} -4x+1.](https://math.jianshu.com/math?formula=g(x)%3D(x-2%2B%20%5Csqrt%20%7B3%7D%20)(x-2-%20%5Csqrt%20%7B3%7D%20)%3D%20x%5E%7B2%7D%20-4x%2B1.)
显然 为有理数域上的不可约多项式,同时 存在公共的实根 ,所以它们在实数域上不互素,而互素性不随数域的扩大而改变,所以在有理数域上它们也不互素,再结合 在有理数域不可约,便有 ,于是 作为 的根,其也是 的根.
(上海财经大学,2022)设 是 在复数域 中的一个根,记
证明:
在有理数域上不可约;
对任意 ,有 ;
对任意的 ,存在 ,使得 .
proof
取素数 ,由于 ,但 ,所以由艾森斯坦判别法可知 在有理数域上不可约.
对任意 ,根据带余除法,存在 使得 其中 ,将 代入上式,结合 便有 这说明 .
对任意的 ,可设 ,其中 是不全为零的有理数.记非零多项式 则 ,由于 在有理数域上不可约,同时 ,所以 ,即存在 ,使得 .将 代入到上式,便有 记 ,则 ,且由(2)可知
(西安电子科技大学,2021)设 是有理数域上的 次多项式,且它在有理数域上不可约,但知 的一个根的倒数也是 的根,证明: 的每一个根的倒数也是 的根.
proof
首先设
由于 是 次不可约的,所以 都非零,自然 也无零根.记 上的多项式
若复数 与 均为 的根,则
于是 是多项式 的公共复根,所以 在复数域上不互素,结合互素性不随数域的扩大而改变,可知 在有理数域上也不互素,而 在有理数域上是不可约的,所以有 而结合 可知 ,所以必有 ,其中 是一个非零常数,于是对 的任一根 ,有
即有 ,即 的倒数也是 的根.
(南昌大学,2022)证明: 是不可约多项式的充要条件是对任意多项式 若 则有 或 .
proof
必要性.已知不可约多项式 满足 ,那么若 ,则 ,目存在 ,使得 ,进而
明显 整除 与 ,所以![p(x)|g(x)](https://math.jianshu.com/math?formula=p(x)%7Cg(x))
充分性.已知 满足:对任意的多项式 ,若 ,则有 或 .如果 可约,则存在次数大于零且小于 的多项式 ,使得 ,此时取 ,显然 ,但是 ,这与已知矛盾.所以 为不可约多项式.
|