数模算法：应用Logistic规律构建种群竞争模型

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本文分为四个部分来解决如何应用Logistic规律构建种群竞争模型？

一：单物种生存. 二：多个种群生存，构建种群竞争模型. 三：代码及结果分析. 四：模型推广.

一：单物种生存

当某个自然环境中，只有一种生物的群体存在，是我们常用的模型来描述它的数量演变过程,即在这里插入图片描述从这条公式可以看出当x=N时，到自治系统的平衡稳定点，表示当时间 t 趋于无穷时，种群数量趋近于N。

二：多个种群生存，构建种群竞争模型]

如果一个自然环境中存在两个或两个以上的种群,它们之间的关系大致可分为以下几种: 相互竞争,相互依存,弱肉强食(食饵与捕食者),也可能毫无关系前几种情形，我们来一一研究，忽略最后一种。

下面我们种群的相互竞争模型先研究两个种群的相互竞争模型

记: x1，x2 分别是甲乙两个种群的数量 r1 , r2 分别是甲乙两个种群的固有增长率 N1,N2 分别是甲乙两个种群的最大容量

模型假设：设甲乙两个种群都生活在同一个自然环境中其数量变化服从 Logistic规律

于是对种群甲我们有公式：这里的因子（1 - X1/N1）反映了由于甲对资源的消耗导致的其对本身的阻滞作用。在这里插入图片描述当两个种群在同一自然环境中生存时，考虑到乙消耗同一资源会对甲的增长造成影响，因此我们在因子中再减去一项，该项和乙的种群的数量成正比其中x(t),y(t)分别为甲乙两种群的数量， r1，r2为它们的固有增长率， n1 n2为它们的最大容量。 s1的含义是对于供养甲的资源来说，单位数量的乙(相对n2)的消耗为单位数量甲（相对n1）消耗的s1倍， s2同理。

## 三：代码及结果分析程序如下： fun.m: function dx=fun(t,x,r1,r2,n1,n2,s1,s2) r1=1; r2=1; n1=100; n2=100; s1=0.5; s2=2; dx=[r1*x(1)*(1-x(1)/n1-s1*x(2)/n2);r2*x(2)*(1-s2*x(1)/n1-x(2)/n2)]; p3.m: h=0.1;%所取时间点间隔 ts=[0:h:30];%时间区间 x0=[10,10];%初始条件 opt=odeset('reltol',1e-6,'abstol',1e-9);%相对误差1e-6，绝对误差1e-9 [t,x]=ode45(@fun,ts,x0,opt);%使用5级4阶龙格—库塔公式计算 plot(t,x(:,1),'r',t,x(:,2),'b','LineWidth',2),grid; pause; plot(x(:,1),x(:,2),'LineWidth',2),grid %作相轨线

Matlab所做的图：在这里插入图片描述最后数值稳定在x=100,y=0上，即物种甲达到最大值，物种乙灭绝。

我们可以通过修改fun.m文件中r1=r2=0.3的值来生成不同的模型，并且直观的看到两个种群的变化。

在这里插入图片描述我们可以看到甲乙两物种最终结果**：仍然是甲达到数量极限而乙灭绝，但与原先不同的是变化速度减缓了**，这是由于自然增长率r1,r2变小的缘故（相当于变化率减小）

我们可以通过修改fun.m文件中n1=10000,n2=100的值来生成不同的模型，并且直观的看到两个种群的变化。在这里插入图片描述由于一开始甲物种的数量相对较少，所以乙物种得以快速增长，数量一度达到90以上，但最终仍然灭绝。物种容量的改变并不能影响最终谁会灭绝。

改变x10,x20: x10=10,x20=100: 在这里插入图片描述乙物种的初始数量大使其灭绝时间稍稍延后，但它灭绝的趋势不变。综上，无论怎样改变r1,r2,n1,n2,x0,y0，都改变不了最后甲物种存活并达到数量最大且乙物种灭绝的结果。

s1>1,s2

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