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【机器学习】NMF(非负矩阵分解)
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写在篇前
本篇文章主要介绍NMF算法原理以及使用sklearn中的封装方法实现该算法，最重要的是理解要NMF矩阵分解的实际意义，将其运用到自己的数据分析中！ 理论概述NMF(Non-negative matrix factorization)，即对于任意给定的一个非负矩阵V，其能够寻找到一个非负矩阵W和一个非负矩阵H，满足条件V=W*H,从而将一个非负的矩阵分解为左右两个非负矩阵的乘积。**其中，V矩阵中每一列代表一个观测(observation)，每一行代表一个特征(feature)；W矩阵称为基矩阵，H矩阵称为系数矩阵或权重矩阵。这时用系数矩阵H代替原始矩阵，就可以实现对原始矩阵进行降维，得到数据特征的降维矩阵，从而减少存储空间。**过程如下图所示：
nmf更详尽的原理可以参考Non-negative matrix factorization - Wikipedia，这里我主要列出我很关注的损失函数(lossFunction or objective function)： squared frobenius norm a r g m i n ⎵ W , H 1 2 ∣ ∣ A − W H ∣ ∣ F r o 2 + α ρ ∣ ∣ W ∣ ∣ 1 + α ρ ∣ ∣ H ∣ ∣ 1 + α ( 1 − ρ ) 2 ∣ ∣ W ∣ ∣ F r o 2 + α ( 1 − ρ ) 2 ∣ ∣ H ∣ ∣ F r o 2 \underbrace{arg\;min}_{W,H}\frac{1}{2}||A-WH||_{Fro}^2 +\alpha\rho|| W||_1+\alpha\rho|| H||_1+\frac{\alpha(1-\rho)}{2}|| W||_{Fro}^2 + \frac{\alpha(1-\rho)}{2}|| H||_{Fro}^2 W,H argmin21∣∣A−WH∣∣Fro2+αρ∣∣W∣∣1+αρ∣∣H∣∣1+2α(1−ρ)∣∣W∣∣Fro2+2α(1−ρ)∣∣H∣∣Fro2 其中： 1 2 ∣ ∣ A − W H ∣ ∣ F r o 2 = 1 2 ∑ i , j ( A i j − W H i j ) 2 \frac{1}{2} ||A - WH||_{\mathrm{Fro}}^2 = \frac{1}{2} \sum_{i,j} (A_{ij} - {WH}_{ij})^2 21∣∣A−WH∣∣Fro2=21i,j∑(Aij−WHij)2 α \alpha α为L1&L2正则化参数，而\rho为L1正则化占总正则化项的比例。||*||_1为L1范数。 Kullback-Leibler (KL) d K L ( X , Y ) = ∑ i , j ( X i j log ( X i j Y i j ) − X i j + Y i j ) d_{KL}(X, Y) = \sum_{i,j} (X_{ij} \log(\frac{X_{ij}}{Y_{ij}}) - X_{ij} + Y_{ij}) dKL(X,Y)=i,j∑(Xijlog(YijXij)−Xij+Yij) Itakura-Saito (IS) d I S ( X , Y ) = ∑ i , j ( X i j Y i j − log ( X i j Y i j ) − 1 ) d_{IS}(X, Y) = \sum_{i,j} (\frac{X_{ij}}{Y_{ij}} - \log(\frac{X_{ij}}{Y_{ij}}) - 1) dIS(X,Y)=i,j∑(YijXij−log(YijXij)−1) 实际上，上面三个公式是beta-divergence family中的三个特殊情况（分别是当 β = 2 , 1 , 0 \beta = 2, 1, 0 β=2,1,0），其原型是： d β ( X , Y ) = ∑ i , j 1 β ( β − 1 ) ( X i j β + ( β − 1 ) Y i j β − β X i j Y i j β − 1 ) d_{\beta}(X, Y) = \sum_{i,j} \frac{1}{\beta(\beta - 1)}(X_{ij}^\beta + (\beta-1)Y_{ij}^\beta - \beta X_{ij} Y_{ij}^{\beta - 1}) dβ(X,Y)=i,j∑β(β−1)1(Xijβ+(β−1)Yijβ−βXijYijβ−1) 代码实现 代码解读在sklearn封装了NMF的实现，可以非常方便我们的使用，其实现基本和前面理论部分的实现是一致的，但是注意sklearn中输入数据的格式是（samples, features）： from sklearn.decomposition import NMF from sklearn.datasets import load_iris X, _ = load_iris(True) # can be used for example for dimensionality reduction, source separation or topic extraction # 个人认为最重要的参数是n_components、alpha、l1_ratio、solver nmf = NMF(n_components=2, # k value,默认会保留全部特征 init=None, # W H 的初始化方法，包括'random' | 'nndsvd'(默认) | 'nndsvda' | 'nndsvdar' | 'custom'. solver='cd', # 'cd' | 'mu' beta_loss='frobenius', # {'frobenius', 'kullback-leibler', 'itakura-saito'}，一般默认就好 tol=1e-4, # 停止迭代的极限条件 max_iter=200, # 最大迭代次数 random_state=None, alpha=0., # 正则化参数 l1_ratio=0., # 正则化参数 verbose=0, # 冗长模式 shuffle=False # 针对"cd solver" ) # -----------------函数------------------------ print('params:', nmf.get_params()) # 获取构造函数参数的值，也可以nmf.attr得到，所以下面我会省略这些属性 # 下面四个函数很简单，也最核心，例子中见 nmf.fit(X) W = nmf.fit_transform(X) W = nmf.transform(X) nmf.inverse_transform(W) # -----------------属性------------------------ H = nmf.components_ # H矩阵 print('reconstruction_err_', nmf.reconstruction_err_) # 损失函数值 print('n_iter_', nmf.n_iter_) # 实际迭代次数注意点： init参数中，nndsvd（默认）更适用于sparse factorization，其变体则适用于dense factorization.solver参数中，如果初始化中产生很多零值，Multiplicative Update (mu) 不能很好更新。所以mu一般不和nndsvd使用，而和其变体nndsvda、nndsvdar使用。solver参数中，cd只能优化Frobenius norm函数；而mu可以更新所有损失函数 案例1第一个案例很简单，目的是理解分解出来的这两个矩阵能用来干嘛，分别是什么意思，但是其实我在文章第一部分已经解释了，直接看例子： >>> import numpy as np >>> X = np.array([[1, 1], [2, 1], [3, 1.2], [4, 1], [5, 0.8], [6, 1]]) >>> from sklearn.decomposition import NMF >>> model = NMF(n_components=2, init='random', random_state=0) >>> W = model.fit_transform(X) >>> H = model.components_ >>> X_new = np.array([[1, 0], [1, 6.1], [1, 0], [1, 4], [3.2, 1], [0, 4]]) >>> W_new = model.transform(X_new) >>> W_new # 输出 W_newarray([[0.35919303], [0.86264547], [0.35919303], [0.68932578], [1.23195088], [0.33013275]]) ok，这个小例子就说明了我们通过NMF获得系数矩阵H,并用系数矩阵H获得新矩阵W_new的基矩阵，实现W_new的数据降维(or 特征提取)。实际上，这时W_new = model.transform(X_new)做的工作相当于： np.mat(X_new)*(np.mat(H).I)matrix([[0.35919303], [0.86264547], [0.35919303], [0.68932578], [1.23195088], [0.33013275]]) 案例2这里再举一个NMF在图像特征提取的应用，来自官方示例，根据我的需要改动了一些： from time import time from numpy.random import RandomState import matplotlib.pyplot as plt from sklearn.datasets import fetch_olivetti_faces from sklearn import decomposition n_row, n_col = 2, 3 n_components = n_row * n_col image_shape = (64, 64) rng = RandomState(0) # ############################################################################# # Load faces data dataset = fetch_olivetti_faces('./', True, random_state=rng) faces = dataset.data n_samples, n_features = faces.shape print("Dataset consists of %d faces, features is %s" % (n_samples, n_features)) def plot_gallery(title, images, n_col=n_col, n_row=n_row, cmap=plt.cm.gray): plt.figure(figsize=(2. * n_col, 2.26 * n_row)) plt.suptitle(title, size=16) for i, comp in enumerate(images): plt.subplot(n_row, n_col, i + 1) vmax = max(comp.max(), -comp.min()) plt.imshow(comp.reshape(image_shape), cmap=cmap, interpolation='nearest', vmin=-vmax, vmax=vmax) plt.xticks(()) plt.yticks(()) plt.subplots_adjust(0.01, 0.05, 0.99, 0.93, 0.04, 0.) # ############################################################################# estimators = [ ('Non-negative components - NMF', decomposition.NMF(n_components=n_components, init='nndsvda', tol=5e-3)) ] # ############################################################################# # Plot a sample of the input data plot_gallery("First centered Olivetti faces", faces[:n_components]) # ############################################################################# # Do the estimation and plot it for name, estimator in estimators: print("Extracting the top %d %s..." % (n_components, name)) t0 = time() data = faces estimator.fit(data) train_time = (time() - t0) print("done in %0.3fs" % train_time) components_ = estimator.components_ print('components_:', components_.shape, '\n**\n', components_) plot_gallery('%s - Train time %.1fs' % (name, train_time), components_) plt.show() #---------------------------其他注释--------------------------- V矩阵：400*4096 W矩阵：400*6 H矩阵：6*4096下面是script运行结果：
NMF最早由科学家D.D.Lee和H.S.Seung提出的一种非负矩阵分解方法，并在Nature发表文章《Learning the parts of objects by non-negative matrix factorization》。随后也有了很多NMF变体，应用也越发广泛，包括文本降维、话题提取、图像处理等。这里必须指出，我看到一份NMF非常完整的资料，但是精力有限，不能全面cover，有兴趣的同学可以参考nimfa。 |
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