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§11.1 常数顶级数的概念和性质 一、级数的定义 若给定一个数列
称之为常数项无穷级数,简称级数,记作 亦即 其中第 上述级数定义仅仅只是一个形式化的定义,它未明确无限多个数量相加的意义。无限多个数量的相加并不能简单地认为是一项一项地累加起来,因为,这一累加过程是无法完成的。 为给出级数中无限多个数量相加的数学定义,我们引入部分和概念。 作级数(1)的前
称 称此数列为级数(1)的部分和数列。 根据部分和数列(2)是否有极限,我们给出级数(1)收敛与发散的概念。 【定义】当 则称级数(1)收敛,这时极限
如果部分和数列(2)无极限,则称级数(1)发散。 当级数(1)收敛时,其部分和 叫做级数的余项。 【注明】由级数定义 【著名反例】 (1)、若逐项相加,部分和为
(2)、若每两项相加之后再各项相加,有 【例1】讨论等比级数 的敛散性。 解:若 (1)、当 等比级数收敛,且和为 (2)、当 等比级数发散; (3)、当 若 若
即当 综合有 【例2】研究下列伸缩型级数的敛散性 1、 2、 解1、 从而 因此,级数1是发散的。 解2、 从而 因此,级数2收敛于 二、级数的基本性质 【性质一】如果级数 收敛于和 也收敛,且和为 【证明】设 于是, 故级数 由关系式 如果 因此,我们得到如下重要结论 级数的每一项同乘一个不为零的常数后,它的敛散性不变。 【性质二】设有级数 分别收敛于 也收敛,且和为 【证明】设级数 故 这表明级数 据性质二,我们可得到几个有用的结论 1、若
2、若收敛 反证:假设 即 3、若 如
又如
【性质三】在级数的前面去掉或加上有限项,不会影响级数的敛散性,不过在收敛时,一般来说级数的和是要改变的。 【证明】将级数 的前 新级数的部分和为 其中 其中 类似地,可以证明在级数的前面增加有限项,不会影响级数的敛散性。 【性质四】将收敛级数的某些项加括号之后所成新级数仍收敛于原来的和。 【证明】设有收敛级数 它按照某一规律加括号后所成的级数为 用 显然,当 级数加括号与去括号之后所得新级数的敛散性较复杂,下列事实在解题中会常用到。 1、如果级数加括号之后所形成的级数发散,则级数本身也一定发散。 显然,这是性质四的逆否命题。 2、收敛的级数去括号之后所成级数不一定收敛。 例如,级数
却是发散的。 这一事实也可以反过来陈述: 即使级数加括号之后收敛,它也不一定就收敛。 三、级数收敛的必要条件 对于级数 它的一般项 假设该级数收敛于和 于是,我们有如下级数收敛的必要条件。 【定理】级数 必须指出,级数的一般项趋向于零并不是级数收敛的充分条件。 【著名反例】讨论调和级数 的敛散性。 这里, 考虑由 当 因此,调和级数
§11.2 常数项级数的审敛法 一、正项级数及审敛法 若级数 由于级数的敛散性可归结为正项级数的敛散性问题,因此,正项级数的敛散性判定就显得十分地重要。 1、基本定理 正项级数收敛的充要条件是它的部分和数列有界。 【证明】设级数
是一个正项级数,它的部分和数列 是单调增加的,即 若数列 反过来,如果级数(1)收敛于和 2、基本审敛法 借助正项级数收敛的基本定理,我们来建立一系列具有实用性的正项级数审敛法。 【比较审敛法】给定两个正项级数 (1)、若 (2)、若 这里,级数 【证明】(1) 设 由 即单调增加的部分和数列 据基本定理知, (2) 设 由
从而 由于级数的每一项同乘以一个非零常数 【推论】设 (1)、若 (2)、若 【例1】讨论 的敛散性,其中 【解】1、若 故 2、若
考虑比较级数 它的部分和 故 由级数的性质, 综上讨论,当 当
比较审敛法还可用其极限形式给出,而极限形式在运用中更显得方便。 【比较审敛法的极限形式】 设 则级数 【证明】由极限的定义有 对 再据比较审敛法的推论,即获得了要证的结论。 【极限审敛法】设 (1)、若 (2)、若 【证明】若 故 (1)、当 (2)、当 (3)、 (4)、 【例2】判别级数
的敛散性。 解: 故级数 故级数 【比值审敛法】 若正项级数 则Ê当 Ë当 Ì当 【证明】 Ê当 据极限的定义,存在自然数
有
级数 的对应项,故 Ë当 存在充分小的正数
因此,当 由级数收敛的必要条件, Ì当 例如,对于 但是,级数在 【根值审敛法】 若正项级数 则Ê当 Ë当 Ì当 【证明】 Ê当 据极限的定义,存在自然数
等比级数 故级数 Ë当 存在充分小的正数
因此,级数的一般项不趋向于零,由级数收敛的必要条件, Ì当 例如,级数 对于比值法与根值法失效的情形( 【例3】判定下列级数的敛散性 1、 2、 3、 解:1、一般项为 由比值审敛法知,级数1是收敛的。 2、一般项为 由根值审敛法知,级数2是收敛的。 3、一般项为 这表明,用比值法无法确定该级数的敛散性。注意到 而级数 二、交错级数及其审敛法 所谓交错级数是这样的级数,它的各项是正、负交错的,其形式如下
或 其中 【交错级数审敛法】(又称莱布尼兹定理) 如果交错级数(1)满足条件 Ê Ë 则交错级数(1)收敛,且收敛和 【证明】 1、先证 将(1)式的前 及 由条件(1) 所有括号内的差均非负,第一个表达式表明:数列 由单调有界数列必有极限准则,当 即 2、再证 因 由条件(2) 由于级数的偶数项之和与奇数项之和都趋向于同一极限,故级数(1)的部分和当 3、最后证明 余项可以写成 其绝对值为 此式的右端也是一个交错级数,它满足收敛的两个条件,故其和应小于它的首项,即 【例4】试证明交错级数 是收敛的。 【证明】 且 故此交错级数收敛,并且和 三、绝对收敛与条件收敛 设有级数 其中 下面,我们考虑级数(2)各项的绝对值所组成的正项级数
的敛散性问题。 【定义】 如果级数(3)收敛,则称级数(2)绝对收敛; 如果级数(3)发散,而级数(2)收敛,则称级数(2)条件收敛。 【定理一】如果级数(3)收敛,则级数(2)亦收敛。 【证明】设级数 令 显然 而 从而 由级数性质,级数 定理一将任意项级数的敛散性判定转化成正项级数的收敛性判定。 【例6】判定任意项级数 解因 而 据定理一,级数 【例7】讨论级数 解 因调和级数 而交错级数 故级数 由定理一与例三,可总结出绝对收敛、条件收敛与收敛之间的关系。 有限项相加的重要性质之一是其和与相加的次序无关(即加法具有交换律、结合律)。这样的性质可否搬到无穷级数呢? 无穷级数一般不具备这样的性质,即使是条件收敛的级数也不具备有这样的性质。但如果级数绝对收敛,则级数中的各项可任意地改变位置(即交换律成立)、可任意地添加括号(即结合律成立)。 【定理二】如果级数 绝对收敛,其和为 仍绝对收敛,且其和仍为 【典型例子】交错级数 条件收敛,设它的收敛和为 下面讨论它的几种新组合 1、 它的前 对级数的项作如下重排
它的前
这表明,重排之后的新级数收敛于 2、对级数的项作如下重排 它的前 而
故,重排之后的新级数收敛于 由1、2可知,级数重排后,改变了级数的收敛和。因此,非绝对收敛的级数不能进行项的重排。
§11.4 幂级数 一、函数项级数的一般概念 设有定义在区间 由此函数列构成的表达式
称作函数项级数。 对于确定的值
若(2)收敛,则称点 若(2)发散,则称点 函数项级数的所有收敛点的全体称为它的收敛域; 函数项级数的所有发散点的全体称为它的发散域。 对于函数项级数收敛域内任意一点 若将函数项级数(1)的前 若把 二、幂级数及其收敛域 函数项级数中最常见的一类级数是所谓幂级数,它的形式是
或 其中常数 (4)式是幂级数的一般形式,作变量代换 因此,在下述讨论中,如不作特殊说明,我们用幂级数(3)式作为讨论的对象。 1、幂级数的收敛域、发散域的构造 先看一个著名的例子,考察等比级数( 显然也是幂级数 ) 的收敛性。 当 当 因此,该幂级数的收敛域是开区间 由此例,我们观察到,这个幂级数的收敛域是一个区间。事实上,这一结论对一般的幂级数也是成立的。 【定理一】(阿贝尔定理) 若 若 【证明】先设 收敛,则 于是存在一个正数 从而 当
定理一的第二部分可用反证法证明 假设幂级数 据定理一的第一部分,级数当 阿贝尔定理揭示了幂级数的收敛域与发散域的结构 对于幂级数 若在 若在 这表明,幂级数的发散点不可能位于原点与收敛点之间。 于是,我们可以这样来寻找幂级数的收敛域与发散域 设幂级数 Œ从原点出发,沿数轴向右方搜寻,最初只遇到收敛点,然后就只遇到发散点,设这两部分的界点为P,点P可能是收敛点,也可能是发散点; 从原点出发,沿数轴向左方搜寻,情形也是如此,也可找到一个界点P’,两个界点在原点的两侧,由定理一知,它们到原点的距离是一样的。 Ž位于点P’与P之间的点,就是幂级数的收敛域;位于这两点之外的点,就是幂级数的发散域。 借助上述几何解释,我们就得到如下重要推论 【推论】如果幂级数 Œ当 当 Ž当 正数 由幂级数在 特别地,如果幂级数只在 2、幂级数的收敛半径的求法 【定理二】设有幂级数
如果 Œ Ž 【证明】考察幂级数的各项取绝对值所成的级数
该级数相邻两项之比为 若 Œ当 即 当 从而 于是,收敛半径 ‚若 从而级数(*)收敛,原幂级数绝对收敛 于是, 收敛半径 ƒ若 依极限理论知,从某个
因此 从而 原幂级数发散。 于是,收敛半径 【例1】求下列幂级数的收敛半径与收敛区间 1、 2、 解1:这里 在左端点 它是发散的; 在右端点 它是收敛的。 收敛区间为 解2.此幂级数缺少奇次幂项,可据比值审敛法的原理来求收敛半径 当 当 对于左端点 它是发散的; 对于右端点 它也是发散的。 故收敛区间为 【例2】求函数项级数的收敛域 解:作变量替换 因 故收敛半径为 在左端点 它是发散的; 在右端点 它也是发散的。 故收敛区间为 即 亦即 三 幂级数的运算性质 对下述性质,我们均不予以证明 1.加,减运算 设幂级数 2.幂级数和函数的性质 Ê幂级数 Ë若幂级数在敛区的左端点 Ì若幂级数在敛区的右端点 注:这一性质在求某些特殊的数项级数之和时, 非常有用。 3.逐项求导 幂级数 4.逐项求积分 幂级数 【例3】求数项级数 解: 当 是一收敛的交错级数。 当 是发散的调和级数。 故 且有 【例4】求 解: 设 当 它是收敛的; 当 它是收敛的; 因此,当 【例5】求 解:考虑辅助幂级数 设 故,当 令
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