卡尔曼滤波教程

在开始讲解卡尔曼滤波以前，我们先闹明白为什么需要一套跟踪和预测算法。

为说明这一点，我们拿一个目标追踪雷达来举例。

假设我们每5秒发起一次追踪，即以5秒为间隔，雷达发出一束波束照射目标。

雷达波到达目标并返回后，它开始估计目标当前的位置和速度。雷达同时还能估计（或预测）目标在下一个测量周期即5秒后的位置。

目标未来的位置可以通过牛顿运动方程得到：

处理三维空间中的运动时，牛顿运动方程可以以方程组形式给出：

这组目标的参数 \( \left[ x, y, z, v_{x},v_{y},v_{z},a_{x},a_{y},a_{z} \right] \) 称为 系统状态。当前状态作为预测算法的输入，预测算法的输出则是目标未来的状态，即目标在下一个采样点所具有的参数。

上面的牛顿运动方程组称为 动态模型 或 状态空间模型。动态模型描述了预测算法的输入和输出之间的关系。

显然，如果目标当前的状态和动态模型是已知的，预测目标后续的状态就可以很简单地实现。

实际中，雷达的测量并不完全准确，它所包含的随机噪声或不确定性会影响对目标状态的预测的精准度。误差大小取决于多方面因素，例如雷达校准、波束宽度、回波的信噪比等。雷达测量的随机噪声或不确定性称为 测量噪声。

另外，由于存在风扰、飞行员干预等因素，目标的运动并不总能依照运动方程。运动方程预测和实际目标的运动轨迹之间的差异称为 过程噪声。

由于测量噪声和过程噪声的存在，估计的目标位置有可能和目标的真实位置大相径庭。这种情况下，雷达的波束完全可能指向错误的方位，从而跟丢目标。

为了提升雷达跟踪的精准度，一套能对抗测量和模型的不确定性的预测算法就至关重要。

最常用的跟踪和预测算法就是 卡尔曼滤波。