导数的介值定理（达布定理）

导数的两大特性：

若函数 f f f 在 [a,b] 上可导，且 f + ′ ( a ) ≠ f − ′ ( b ) f_+'(a) \neq f_-'(b) f+′​(a)=f−′​(b)， k k k 为介于 f + ′ ( a ) ,   f − ′ ( b ) f_+'(a) ,\ f_-'(b) f+′​(a), f−′​(b) 之间的任一实数，则至少存在一点 ξ ∈ ( a , b ) \xi \in (a,b) ξ∈(a,b)，使得 f ′ ( ξ ) = k f'(\xi) = k f′(ξ)=k。

证明：设 F ( x ) = f ( x ) − k x F(x) = f(x) - kx F(x)=f(x)−kx，由于f 可导，则 F ( x ) F(x) F(x) 在 [a,b] 上可导。且由于 k k k 为介于 f + ′ ( a ) ,   f − ′ ( b ) f_+'(a) ,\ f_-'(b) f+′​(a), f−′​(b) 之间的一实数，所以 F + ′ ( a ) ⋅ F − ′ ( b ) = [ f + ′ ( a ) − k ] ⋅ [ f − ′ ( b ) − k ] < 0 F_+'(a)\cdot F_-'(b) = [f_+'(a)-k]\cdot[f_-'(b)-k]0,F−′​(b) 0 F − ′ ( b ) = lim ⁡ x → b − F ( x ) − F ( b ) x − b < 0 F_+'(a) = \lim_{x\rightarrow a^+} \frac{F(x)-F(a)}{x-a} > 0\\ F_-'(b) = \lim_{x\rightarrow b^-} \frac{F(x)-F(b)}{x-b} < 0 F+′​(a)=x→a+lim​x−aF(x)−F(a)​>0F−′​(b)=x→b−lim​x−bF(x)−F(b)​ 0 \exists \delta_1>0 ∃δ1​>0，对 ∀ x ∈ ( a , a + δ 1 ) \forall x\in (a,a+\delta_1) ∀x∈(a,a+δ1​)，有 F ( x ) − F ( a ) x − a > 0 ，可得 F ( x ) > F ( a ) \frac{F(x)-F(a)}{x-a} > 0，可得 F(x) > F(a) x−aF(x)−F(a)​>0，可得F(x)>F(a) 同理， ∃ δ 2 > 0 \exists \delta_2>0 ∃δ2​>0，对 ∀ x ∈ ( b − δ 2 , b ) \forall x\in(b-\delta_2, b) ∀x∈(b−δ2​,b) ，有 F ( x ) − F ( b ) x − b < 0 ，即 F ( x ) > F ( b ) \frac{F(x)-F(b)}{x-b} < 0，即 F(x) > F(b) x−bF(x)−F(b)​F(b)

因为 F F F 在 [a,b] 上可导，则 F F F 在 [a,b] 上连续，根据最大最小值定理，存在一点 ξ ∈ [ a , b ] \xi\in[a,b] ξ∈[a,b]，使得 F F F 在 ξ \xi ξ 取得最大值，由 F ( x ) > F ( a ) ( x ∈ ( a , a + δ 1 ) ， F ( x ) > F ( b ) ( x ∈ ( b − δ 2 , b ) F(x) > F(a)(x\in(a,a+\delta_1)，F(x) > F(b)(x\in(b-\delta_2,b) F(x)>F(a)(x∈(a,a+δ1​)，F(x)>F(b)(x∈(b−δ2​,b) 可知 ξ ≠ a , b \xi\neq a,b ξ=a,b，由费马引理得 F ′ ( ξ ) = 0 F'(\xi) = 0 F′(ξ)=0，即 f ′ ( ξ ) = k , ξ ∈ ( a , b ) f'(\xi) = k, \xi\in(a,b) f′(ξ)=k,ξ∈(a,b)。

证法二：

不妨设 f + ′ ( a ) < f − ′ ( b ) f_+'(a) < f_-'(b) f+′​(a) F ( b ) F(a)> F(b) F(a)>F(b)，又 F − ′ ( b ) = f + ′ ( b ) − k > 0 F_-'(b) = f_+'(b) - k > 0 F−′​(b)=f+′​(b)−k>0 由极限保号性，存在 χ ∈ ( a , b ) \chi\in(a,b) χ∈(a,b) 使 F ( χ ) < F ( b ) F(\chi) < F(b) F(χ) 0 , f − ′ ( b ) < 0 f_+'(a)>0, f_-'(b)0,f−′​(b) 0 ⇒ ∃ δ 1 > 0 ，对 ∀ x ∈ ( a , a + δ 1 ) ， f ( x ) > f ( a ) f − ′ ( b ) = lim ⁡ x → a + f ( x ) − f ( b ) x − b < 0 ⇒ ∃ δ 1 > 0 ，对 ∀ x ∈ ( b − δ 2 , b ) ， f ( x ) > f ( b ) f_+'(a) = \lim_{x\rightarrow a^+} \frac{f(x)-f(a)}{x-a}>0 \Rightarrow \exists \delta_1>0，对 \forall x\in(a,a+\delta_1)，f(x)>f(a) \\ f_-'(b) = \lim_{x\rightarrow a^+} \frac{f(x)-f(b)}{x-b}0，对 \forall x\in(b-\delta_2,b)，f(x)>f(b) f+′​(a)=x→a+lim​x−af(x)−f(a)​>0⇒∃δ1​>0，对∀x∈(a,a+δ1​)，f(x)>f(a)f−′​(b)=x→a+lim​x−bf(x)−f(b)​0，对∀x∈(b−δ2​,b)，f(x)>f(b)

因为 f ( x ) f(x) f(x)在 [a,b] 上可导，所以 f ( x ) 在 [ a , b ] f(x)在 [a,b] f(x)在[a,b] 上连续，根据最大最小值定理，存在一点 ξ ∈ [ a , b ] \xi\in[a,b] ξ∈[a,b]，使 f f f 在该点取得最大值，又由 f ( x ) > f ( a ) ( x ∈ ( a , a + δ 1 ) , f ( x ) > f ( b ) ( x ∈ ( b − δ 2 , b ) f(x)>f(a)(x\in(a,a+\delta_1),f(x)>f(b)(x\in(b-\delta_2,b) f(x)>f(a)(x∈(a,a+δ1​),f(x)>f(b)(x∈(b−δ2​,b)可知 ξ ≠ a , ξ ≠ b \xi \neq a,\xi\neq b ξ=a,ξ=b，则 存在 ξ ∈ ( a , b ) \xi\in(a,b) ξ∈(a,b)， f ′ ( ξ ) = 0 f'(\xi)=0 f′(ξ)=0。

对于闭区间上连续函数的零点定理（即根的存在性定理），不必要求 f ′ ( x ) f'(x) f′(x)连续，只需要原函数在[a,b]可导。

推论：设函数 f ( x ) f(x) f(x)在区间 I I I 可导，且对任意 x ∈ I x\in I x∈I，满足 f ′ ( x ) ≠ 0 f'(x)\neq 0 f′(x)=0，那么 f ( x ) f(x) f(x)在区间 I I I 上严格单调。

证明：若对 ∀ x ∈ I , f ′ ( x ) ≠ 0 ⇒ f ′ ( x ) \forall x\in I, f'(x) \neq 0 \Rightarrow f'(x) ∀x∈I,f′(x)=0⇒f′(x)保号（恒正或恒负） 反证法，如若不然，即f(x)既有负值又有正值，则由导数零点定理，必 ∃ ξ ∈ I \exists \xi \in I ∃ξ∈I，使得 f ′ ( ξ ) = 0 f'(\xi)=0 f′(ξ)=0，从而 f f f 在 I I I 上严格单调。

推论2： f f f 在区间 I I I 上满足 f ′ ( x ) ≠ 0 ⇒ f ′ ( x ) f'(x)\neq 0 \Rightarrow f'(x) f′(x)=0⇒f′(x)保号（恒正或恒负） ⇒ f \Rightarrow f ⇒f 在 I I I 上严格单调 ⇒ f \Rightarrow f ⇒f在 I I I 上必有反函数。

设 f ( x ) f(x) f(x) 在 ( a , b ) (a,b) (a,b) 内处处有导数 f ′ ( x ) f'(x) f′(x)，则 ( a , b ) (a,b) (a,b) 中的点或者为 f ′ ( x ) f'(x) f′(x) 的连续点，或者为 f ′ ( x ) f'(x) f′(x) 的第二类间断点。

证明：因为 f ( x ) f(x) f(x) 在 (a,b) 内处处可导，所以 ∀ x 0 ∈ ( a , b ) \forall x_0\in(a,b) ∀x0​∈(a,b)： f ′ ( x 0 ) = f + ′ ( x 0 ) = lim ⁡ x → x 0 + f ( x ) − f ( x 0 ) x − x 0 = lim ⁡ x → x 0 + f ′ ( ξ ) ( x − x 0 ) x − x 0 ( 拉格朗日中值定理） = lim ⁡ x → x 0 + f ′ ( ξ ) ( x 0 < ξ < x ) \begin{align*} f'(x_0) = f_+'(x_0) &= \lim_{x\rightarrow x_0^+}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} \\ &= \lim_{x\rightarrow x_0^+} \frac{f'(\xi)(x-x_0)}{x-x_0} (拉格朗日中值定理）\\ & = \lim_{x\rightarrow x_0^+}f'(\xi) (x_0