【线性代数笔记】关于两个矩阵相乘等于零矩阵（AB=O）

定理1 设矩阵 A m × n A_{m\times n} Am×n​， B n × s B_{n\times s} Bn×s​满足 A B = O AB=O AB=O，则 (1) B B B的各列均为齐次线性方程组 A x = 0 A\bm{x}=\bm{0} Ax=0的解； (2) r ( A ) + r ( B ) ≤ n r(A)+r(B)\le n r(A)+r(B)≤n； (3) 若 A ≠ O A\ne O A​=O且 B ≠ O B\ne O B​=O，则 A A A的列向量组线性相关， B B B的行向量组线性相关。

证明： (1) 将 B B B按列分块，得 B = ( b 1 , b 2 , … , b s ) B=(b_1, b_2, \dots,b_s) B=(b1​,b2​,…,bs​)，其中 b i b_i bi​是 n n n维列向量，则 A B = A ( b 1 , b 2 , … , b s ) AB=A(b_1, b_2, \dots,b_s) AB=A(b1​,b2​,…,bs​)，再由分块运算法则得 A B = ( A b 1 , A b 2 , … , A b s ) = O = ( 0 , 0 , … , 0 ) AB=(Ab_1, Ab_2, \dots,Ab_s)=O=(\bm{0},\bm{0},\dots,\bm{0}) AB=(Ab1​,Ab2​,…,Abs​)=O=(0,0,…,0)，故 { A b 1 = 0 A b 2 = 0 … A b s = 0 \begin{cases}Ab_1=\bm{0}\\Ab_2=\bm{0}\\\dots\\Ab_s=\bm{0}\end{cases} ⎩⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎧​Ab1​=0Ab2​=0…Abs​=0​ 则 B B B的各列 b i b_i bi​均为齐次线性方程组 A x = 0 A\bm{x}=\bm{0} Ax=0的解。 (2) 由基础解系的性质可知 b i b_i bi​一定可以被齐次线性方程组 A x = 0 A\bm{x}=\bm{0} Ax=0的基础解系线性表示，故 r ( B ) ≤ r ( A 的基础解系 ) = n − r ( A ) r(B)\le r(A\text{的基础解系})=n-r(A) r(B)≤r(A的基础解系)=n−r(A)。 ∴ r ( A ) + r ( B ) ≤ n \therefore r(A)+r(B)\le n ∴r(A)+r(B)≤n。 (3) 由(1)知齐次线性方程组 A x = 0 A\bm{x}=\bm{0} Ax=0有非零解。将 A A A按列分块，得 A = [ α 1 α 2 … α n ] A=\begin{bmatrix}\bm{\alpha}_1&\bm{\alpha}_2&\dots&\bm{\alpha}_n\end{bmatrix} A=[α1​​α2​​…​αn​​]，结合 x = [ x 1 x 2 ⋮ x n ] \bm{x}=\begin{bmatrix}x_1\\x_2\\\vdots\\x_n\end{bmatrix} x=⎣⎢⎢⎢⎡​x1​x2​⋮xn​​⎦⎥⎥⎥⎤​得 A x = x 1 α 1 + x 2 α 2 + ⋯ + x n α n = 0 A\bm{x}=x_1\bm{\alpha}_1+x_2\bm{\alpha}_2+\dots+x_n\bm{\alpha}_n=\bm{0} Ax=x1​α1​+x2​α2​+⋯+xn​αn​=0，其中 x ≠ 0 \bm{x}\ne\bm{0} x​=0，因此 α 1 , α 2 … , α n \bm{\alpha}_1,\bm{\alpha}_2\dots,\bm{\alpha}_n α1​,α2​…,αn​线性相关，即 A A A的列向量线性相关。再在原式两端取转置得 B T A T = O T = O B^TA^T=O^T=O BTAT=OT=O，则 B T B^T BT的列向量线性相关，故 B B B的行向量线性相关。