有理数・無理数の稠密性の定義とその証明

大学教養の微分積分学における実数上の稠密性（ちゅうみつせい）の概念について，その定義を紹介し，さらに有理数・無理数が実数上稠密であることを証明します。

まずは実数上における，稠密性の定義を述べましょう。

定義（実数上における稠密性）

A \subset \mathbb{R} とする。 このとき， A が \mathbb{R} 上稠密 (dense) であるとは，任意の x< y, \,\, x,y\in \mathbb{R} に対して，ある a \in A が存在して，

が成立することをいう。

稠密とは，点の隙間はあってもよいが区間の隙間があってはならない，ある意味「ぎっしり」詰まっている集合といえます。一般に，数直線上に厳密に図示することはできません。

このとき，明らかに以下が成立します。

定理（稠密集合の包含）

A\subset B \subset \mathbb{R} とし， A を \mathbb{R} 上稠密とする。このとき， B も \mathbb{R} 上稠密である。

定理（有理数・無理数の稠密性）

\mathbb{Q}, \,\, \mathbb{R}\setminus\mathbb{Q} は \mathbb{R} 上稠密である。

すなわち，有理数・無理数は実数上稠密である。

早速証明しましょう。

証明の際，以下の公理を用います(→定義・公理・定理・命題・補題・系を完全理解しよう)。

公理（アルキメデスの原理）

自然数の集合 \mathbb{N} = \{ 1,2,3,\dots\} は上に有界でない。

「公理」としましたが，四則演算・大小関係・実数の連続性を仮定すれば「定理」として従います。

証明していきましょう。

証明

有理数の稠密性

x < y, \,\, x,y \in \mathbb{R} とする。アルキメデスの原理より， n > 1/(y-x) となる n \in \mathbb{N} が取れる。これにより， ny - nx > 1 が分かる。

再びアルキメデスの原理より， nx < m となる m \in\mathbb{N} を取ると， m, m-1, m-2, \dots のうち， nx < m' をみたす最小の m' (\in \mathbb{Z}) が取れる。このとき m' - nx \le 1 なので，特に nx < m' < ny が従う。よって，

となって， m'/n \in \mathbb{Q} であるから，証明が終わる。

無理数の稠密性

\sqrt{2} は無理数であるから，

である。左辺は，稠密である有理数の集合を +\sqrt{2} だけ平行移動したものであるから，これも実数上稠密になる。

従って， \mathbb{R} \setminus \mathbb{Q} は実数上稠密である。

証明終

なお，一般に有理数の「数」より無理数の「数」の方が圧倒的に多いことが知られています。

最後にもっと一般化しましょう。

ここからは，位相空間論の基礎知識が必要です。

定義（位相空間論における稠密性）

X を位相空間とする。 A \subset X が稠密 (dense) であるとは， \overline{A} = X が成立することである。ここで， \overline{A} は A の閉包 (closure) を表す。

実数に自然な位相を入れることで，有理数・無理数は稠密であることが分かります。