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综合数学/实数及其运算/集合的基本运算
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集合是数学中一个基本概念，本课主要学习集合。 集合与元素[编辑]一般地，我们把研究对象统称为元素，把一些元素组成的整体叫做集合，简称集。通常，我们用大写字母 A , B , C ⋯ {\displaystyle A,B,C\cdots } 表示集合，用小写字母 a , b , c ⋯ {\displaystyle a,b,c\cdots } 表示集合中的元素。如果 a {\displaystyle a} 是集合 A {\displaystyle A} 的元素，我们就称 a {\displaystyle a} 属于集合 A {\displaystyle A} ，记作 a ∈ A {\displaystyle a\in A} ；反之，则称 a {\displaystyle a} 不属于集合 A {\displaystyle A} ，记作 a ∉ A {\displaystyle a\not \in A} [1]。 一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集（通常情况下，也把给定的集合称为全集），通常记作 U {\displaystyle U} 或 I {\displaystyle I} 。 集合的表示[编辑]集合一般有两种表示法：列举法和描述法。 列举法[编辑]顾名思义，列举法就是一个一个将集合中的元素列举出来，再用“ { } {\displaystyle \{\}} ”将元素括起来表示集合，元素与元数之间应用“ , {\displaystyle ,} ”隔开。当元素个数过多时，可在将元素规律表示出来后用“ ⋯ {\displaystyle \cdots } ”省略后续元素。 例1.6.1用列举法表示集合 A = {\displaystyle A=} “不大于20的正奇数”， B = {\displaystyle B=} “大于或等于10的偶数”。 解 这里集合 A {\displaystyle A} 是一个有限集合，元素较少，可以完全列举；但集合 B {\displaystyle B} 是一个无穷集合，只能用省略号省去部分元素。 故 A = { 1 , 3 , 5 , 7 , 9 , 11 , 13 , 15 , 17 , 19 } , B = { 10 , 12 , 14 , 16 , ⋯ } 。 {\displaystyle {\begin{alignedat}{2}&A=\{1,3,5,7,9,11,13,15,17,19\},\\&B=\{10,12,14,16,\cdots \}{\mbox{。 }}\end{alignedat}}} 描述法[编辑]描述法是表示一个集合最常用的方法。设 P ( x ) {\displaystyle P(x)} 为某个与 x {\displaystyle x} 有关的条件或法则， X {\displaystyle X} 为满足 P ( x ) {\displaystyle P(x)} 的全体 x {\displaystyle x} 构成的集合，则记 X {\displaystyle X} 为 X = { x | P ( x ) } {\displaystyle X=\{x|P(x)\}} 。[2]相应地，设 P ( x , y ) {\displaystyle P(x,y)} 为某个与 x , y {\displaystyle x,y} 有关的条件或法则， A {\displaystyle A} 为满足 P ( x , y ) {\displaystyle P(x,y)} 的全体有序数对 ( x , y ) {\displaystyle (x,y)} 构成的集合，则记 A {\displaystyle A} 为 A = { ( x , y ) | P ( x , y ) } {\displaystyle A=\{(x,y)|P(x,y)\}} 。 例1.6.2用描述法表示例1.1.2中的集合。 解 依题意，用描述法表示集合，则 A = { x | x = 2 n + 1 , 0 ≤ n ≤ 9 , n ∈ Z } , B = { x | x = 2 n , n ≥ 5 , n ∈ Z } 。 {\displaystyle {\begin{alignedat}{2}&A=\{x|x=2n+1,0\leq n\leq 9,n\in \mathbb {Z} \},\\&B=\{x|x=2n,n\geq 5,n\in \mathbb {Z} \}{\mbox{。 }}\end{alignedat}}}答案不唯一。 集合的分类[编辑]集合有许多种，在数学上可以将集合按元素的个数分为无限集、有限集和空集，还可以按元素的类别分为数集和点集等。 数集和点集[编辑]顾名思义，数集就是数构成的集合，点集就是点构成的集合。我们见的最多的集合就是数集。数学中有一些特殊数集[3]： 由有理数和无理数构成的集合叫作实数集，记作 R {\displaystyle \mathbb {R} } ； 由整数和分数构成的集合叫作有理数集，记作 Q {\displaystyle \mathbb {Q} } ； 由自然数和负整数构成的集合叫作整数集，记作 Z {\displaystyle \mathbb {Z} } ； 由零和正整数构成的集合叫作自然数集，记作 N {\displaystyle \mathbb {N} } 。有时为了明确自然数集中包括0，我们会将它记作 N 0 {\displaystyle \mathbb {N} _{0}} ；反之，不包含0的自然数集（正整数集）我们记作 N ∗ {\displaystyle \mathbb {N} ^{*}} ； 由除了1和它本身以外不再有其他的因数的整数构成的集合叫作质数集（有时称作素数集），记作 P {\displaystyle \mathbb {P} } ； 由形如 a + b i {\displaystyle a+b\mathrm {i} } 的数构成的集合叫作复数集，其中 a , b ∈ R {\displaystyle a,b\in \mathbb {R} } ， i {\displaystyle \mathrm {i} } 为虚数单位且 i 2 = − 1 {\displaystyle \mathrm {i} ^{2}=-1} ，记作 C {\displaystyle \mathbb {C} } ；还有一些特殊数集如四元数集（ H {\displaystyle \mathbb {H} } ）、八元数集（ O {\displaystyle \mathbb {O} } ）和十六元数集（ S {\displaystyle \mathbb {S} } ）等现阶段不要求掌握，虚数集、无理数集（均用 I {\displaystyle \mathbb {I} } 表示）等有消歧义的一般不使用。 无限集、有限集和空集[编辑]令 N ∗ {\displaystyle \mathbb {N} ^{*}} 是正整数的全体，且 N n = { 1 , 2 , 3 , ⋯ , n } {\displaystyle N_{n}=\{1,2,3,\cdots ,n\}} ,如果存在一个正整数 n {\displaystyle n} ，使得集合 A {\displaystyle A} 与 N n {\displaystyle N_{n}} 一一对应，那么我们称集合A为有限集。同时定义，不含任何元素的集合称作空集，记作 ∅ {\displaystyle \varnothing } 。空集是特殊的有限集[4]，且空集是否是点集或数集是任意的。相反地，有限集之外的集合我们叫作无限集。 例1.6.3判断下列集合是什么集合 (1) A = { x | 0 ⩽ x ≤ 10 } {\displaystyle A=\left\{x|0\leqslant x\leq 10\right\}} ； (2) B = { x | x ∈ Z , x 2 ⩽ 0 } {\displaystyle B=\left\{x|x\in \mathbb {Z} ,x^{2}\leqslant 0\right\}} ； (3) C = { x | x ∈ N , x y } {\displaystyle D=\left\{\left(x,y\right)|x\geqslant y\right\}} ；解 (1)依题意，集合 A = {\displaystyle A=} “大于等于0、小于等于10的（实）数”，明显，集合 A {\displaystyle A} 是无限数集； (2)由于实数范围内满足 x 2 ≤ 0 {\displaystyle x^{2}\leq 0} 的数只有0，且 0 ∈ Z {\displaystyle 0\in \mathbb {Z} } ，故集合 B = { 0 } {\displaystyle B=\left\{0\right\}} 为有限数集； (3)明显，自然数集内没有小于-3的数，则 C = ∅ {\displaystyle C=\varnothing } ，为空集； (4)由于集合满足 x ⩾ y {\displaystyle x\geqslant y} 的点有无数个，故集合 D {\displaystyle D} 为一无限点集。 集合的性质[编辑]集合有确定性、互异性和无序性三个性质。 确定性[编辑]给定一个集合，则哪些元素在这个集合中，哪些元素不在都应是确定的。例如“我们班个子高的学生”就不是一个集合，因为多高才叫“高个子”是不确定的，不满足集合的确定性；而“我们班身高大于170 cm的学生”是一个集合。或说，任意给定一个元素 a {\displaystyle a} ，则它是否属于集合 A {\displaystyle A} 是确定的。 互异性[编辑]集合中任意两个元素都是不同的对象。如 { 1 , 1 , 2 } {\displaystyle \{1,1,2\}} 不是一个集合，而 { 1 , 2 } {\displaystyle \{1,2\}} 才是一个集合[5]。互异性使集合中的元素是没有重复，即使两个相同的对象在同一个集合中，也只能算作这个集合的一个元素。 无序性[编辑]集合中的元素排列是没有顺序的。例如，集合 { 1 , 3 , 2 } = { 1 , 2 , 3 } {\displaystyle \{1,3,2\}=\{1,2,3\}} 。 以上就是集合的三个性质。 集合间的基本关系和运算[编辑] 集合间的基本关系 [编辑]一般地，对于两个集合 A , B {\displaystyle A,B} ，如果集合 A {\displaystyle A} 中的任何一种元素都是集合 B {\displaystyle B} 的元素，我们则称集合 A {\displaystyle A} 是集合 B {\displaystyle B} 的子集，记作 A ⊆ B {\displaystyle A\subseteq B} （或 B ⊇ A {\displaystyle B\supseteq A} ）读作“ A {\displaystyle A} 包含于 B {\displaystyle B} ”（或“ B {\displaystyle B} 包含 A {\displaystyle A} ”）。同时，如果有两个集合 A , B {\displaystyle A,B} 满足 A ⊆ B {\displaystyle A\subseteq B} 且 B ⊆ A {\displaystyle B\subseteq A} ，我们则称这两个集合相等，记作 A = B {\displaystyle A=B} 。若对于两个集合 A , B {\displaystyle A,B} ，有 A ⊆ B {\displaystyle A\subseteq B} 但 A ≠ B {\displaystyle A\neq B}我们则称集合 A {\displaystyle A} 是集合 B {\displaystyle B} 的真子集，记作[6] A ⊂ B {\displaystyle A\subset B} （或 B ⊃ A {\displaystyle B\supset A} ）读作“ A {\displaystyle A} 真包含于 B {\displaystyle B} ”（或“ B {\displaystyle B} 真包含 A {\displaystyle A} ”）。 由上述定义我们可以得到（子集的性质）： 1. 空集是任何集合的子集； 2. 任何集合都是它本身的子集，即 A ⊆ A {\displaystyle A\subseteq A} ； 3. （集合的传递性）如果集合 A ⊆ B , B ⊆ C {\displaystyle A\subseteq B,B\subseteq C} ， 则 A ⊆ C {\displaystyle A\subseteq C} ； 更一般地，我们有： 若 A 1 ⊆ A 2 , A 2 ⊆ A 3 , ⋯ , A n − 1 ⊆ A n , {\displaystyle A_{1}\subseteq A_{2},A_{2}\subseteq A_{3},\cdots ,A_{n-1}\subseteq A_{n},} 则 A 1 ⊆ A n {\displaystyle A_{1}\subseteq A_{n}} ； 4. 若集合 A {\displaystyle A} 中有 n {\displaystyle n} 个元素，则 A {\displaystyle A} 的子集共有 2 n {\displaystyle 2^{n}} ，真子集有 2 n − 1 {\displaystyle 2^{n-1}} 个。集合的相等和真子集均满足上述性质。证明略。 例1.6.4列举出集合 A = { 1 , 2 , 3 } {\displaystyle A=\{1,2,3\}}的全部子集。 解 集合 A {\displaystyle A} 的全部子集有： ∅ , { 1 } , { 2 } , { 3 } , { 1 , 2 } , { 2 , 3 } , { 1 , 2 , 3 } {\displaystyle \varnothing ,\{1\},\{2\},\{3\},\{1,2\},\{2,3\},\{1,2,3\}} 集合的相关运算[编辑]一般地，由集合 A {\displaystyle A} 与集合 B {\displaystyle B} 的所有元素构成的集合，称为 A , B {\displaystyle A,B} 的并集，记为 A ∪ B {\displaystyle A\cup B} ，可表示为 A ∪ B = { x | x ∈ A ∨ x ∈ B } {\displaystyle A\cup B=\left\{x|x\in A\vee x\in B\right\}} 。又有，由集合 A {\displaystyle A} 与集合 B {\displaystyle B} 的所有公共元素构成的集合，称为 A , B {\displaystyle A,B} 的交集，记为 A ∩ B {\displaystyle A\cap B} ，可表示为 A ∩ B = { x | x ∈ A ∧ x ∈ B } {\displaystyle A\cap B=\left\{x|x\in A\wedge x\in B\right\}} 。 例1.6.5若集合 A = { 1 , 2 , 3 } , B = { 2 , 3 , 4 } {\displaystyle A=\{1,2,3\},B=\{2,3,4\}} ，求 A ∩ ( A ∪ B ) {\displaystyle A\cap \left(A\cup B\right)} 解 由题，有 A ∩ ( A ∪ B ) = { 1 , 2 , 3 } ∩ ( { 1 , 2 , 3 } ∪ { 2 , 3 , 4 } ) = { 1 , 2 , 3 } ∩ { 1 , 2 , 3 , 4 } = { 1 , 2 , 3 } 。 {\displaystyle {\begin{alignedat}{3}A\cap \left(A\cup B\right)&=\left\{1,2,3\right\}\cap \left(\left\{1,2,3\right\}\cup \left\{2,3,4\right\}\right)\\&=\left\{1,2,3\right\}\cap \left\{1,2,3,4\right\}\\&=\left\{1,2,3\right\}{\mbox{。 }}\end{alignedat}}}对于由所有属于集合 B {\displaystyle B} 但不属于集合 A {\displaystyle A} 的元素，我们称为集合 A {\displaystyle A} 相对于 B {\displaystyle B} 的相对补集，记作 B − A {\displaystyle B-A} [7]，可表示为 B − A = { x | x ∈ B ∧ x ∉ A } {\displaystyle B-A=\left\{x|x\in B\wedge x\not \in A\right\}} 。特殊地，集合 A {\displaystyle A} 相对于全集 U {\displaystyle U} 的补集叫作绝对补集，记作 A ¯ {\displaystyle {\overline {A}}} [8]，可表示为 A ¯ = { x | x ∉ A } {\displaystyle {\overline {A}}=\{x|x\not \in A\}} 。由所有属于 A ∪ B {\displaystyle A\cup B} 但不属于 A ∩ B {\displaystyle A\cap B} 的元素所构成的集合叫作集合 A , B {\displaystyle A,B} 的对称差，记作 A Δ B {\displaystyle A\Delta B} ，可表示为 A Δ B = { x | x ∈ A ∪ B ∧ x ∉ A ∩ B } {\displaystyle A\Delta B=\{x|x\in A\cup B\wedge x\not \in A\cap B\}} 。关于集合运算有以下常用结论： (1)等幂律： A ∩ A = A , A ∪ A = A {\displaystyle A\cap A=A,A\cup A=A} ； (2)同一律： A ∩ I = A , A ∪ I = I , A ∩ ∅ = ∅ , A ∪ ∅ = A {\displaystyle A\cap I=A,A\cup I=I,A\cap \varnothing =\varnothing ,A\cup \varnothing =A} ； (3)互补律： A ∩ A ¯ = ∅ , A ∪ A ¯ = I , A ¯ ¯ = A , I ¯ = ∅ , ∅ ¯ = I {\displaystyle A\cap {\overline {A}}=\varnothing ,A\cup {\overline {A}}=I,{\overline {\overline {A}}}=A,{\overline {I}}=\varnothing ,{\overline {\varnothing }}=I} ； (4)交换律： A ∩ B = B ∩ A , A ∪ B = B ∪ A {\displaystyle A\cap B=B\cap A,A\cup B=B\cup A} ； (5)结合律： A ∩ ( B ∩ C ) = ( A ∩ B ) ∩ C , A ∪ ( B ∪ C ) = ( A ∪ B ) ∪ C {\displaystyle A\cap (B\cap C)=(A\cap B)\cap C,A\cup (B\cup C)=(A\cup B)\cup C} ； (6)分配率： A ∩ ( ⋃ i A i ) = ⋃ i ( A ∩ A i ) , A ∪ ( ⋂ i A i ) = ⋂ i ( A ∩ A i ) {\displaystyle A\cap \left(\bigcup _{i}A_{i}\right)=\bigcup _{i}\left(A\cap A_{i}\right),A\cup \left(\bigcap _{i}A_{i}\right)=\bigcap _{i}\left(A\cap A_{i}\right)} ； (7)吸收率： A ∪ ( A ∩ B ) = A , A ∩ ( A ∪ B ) = A {\displaystyle A\cup (A\cap B)=A,A\cap (A\cup B)=A} ； (8)反演律： ⋂ i A i ¯ = ⋂ i A i ¯ , ⋃ i A i ¯ = ⋃ i A i ¯ {\displaystyle {\overline {\bigcap _{i}A_{i}}}=\bigcap _{i}{\overline {A_{i}}},{\overline {\bigcup _{i}A_{i}}}=\bigcup _{i}{\overline {A_{i}}}} 。利用相关定义即可证明，略。上述运算定律在以后会有很大帮助。 容斥原理[编辑]若记有限集合 A {\displaystyle A} 中的元素个数为 | A | {\displaystyle |A|} [9]，则由Venn图（下图）可知： 1. | A ∪ B | = | A | + | B | − | A ∩ B | {\displaystyle |A\cup B|=|A|+|B|-|A\cap B|} ； 2. | A ∪ B ∪ C | = | A | + | B | + | C | − | A ∩ B | − | A ∩ C | − | B ∩ C | + | A ∩ B ∩ C | {\displaystyle |A\cup B\cup C|=|A|+|B|+|C|-|A\cap B|-|A\cap C|-|B\cap C|+|A\cap B\cap C|} 。
A∪B
A∪B∪C
一般地，对于 n {\displaystyle n} 个有限集合 A 1 , A 2 ⋯ , A n {\displaystyle A_{1},A_{2}\cdots ,A_{n}} ，则有 | ⋃ i = 1 n | = ∑ k = 1 n ( ( − 1 ) k − 1 ( ∑ 1 ⩽ i 1 n | ⋂ j = 1 k A i j | ) ) {\displaystyle \left|\bigcup _{i=1}^{n}\right|=\sum _{k=1}^{n}\left(\left(-1\right)^{k-1}\left(\sum _{1\leqslant i_{1} i = 1 n A i = ( ⋃ i = 1 n − 1 A i ) ∪ A n {\displaystyle \bigcup _{i=1}^{n}A_{i}=\left(\bigcup _{i=1}^{n-1}A_{i}\right)\cup A_{n}} ，由 n = 2 {\displaystyle n=2} 的情形可知： | ⋃ i = 1 n A i | = | ⋃ i = 1 n − 1 A i | + | A n | − | ( ⋃ i = 1 n − 1 A i ) ∩ A n | = | ⋃ i = 1 n − 1 A i | + | A n | − | ⋃ i = 1 n − 1 ( A i ∩ A n ) | ， {\displaystyle {\begin{alignedat}{2}\left|\bigcup _{i=1}^{n}A_{i}\right|&=\left|\bigcup _{i=1}^{n-1}A_{i}\right|+\left|A_{n}\right|-\left|\left(\bigcup _{i=1}^{n-1}A_{i}\right)\cap A_{n}\right|\\&=\left|\bigcup _{i=1}^{n-1}A_{i}\right|+\left|A_{n}\right|-\left|\bigcup _{i=1}^{n-1}\left(A_{i}\cap A_{n}\right)\right|{\mbox{， }}\end{alignedat}}}由归纳假设，对于 n − 1 {\displaystyle n-1} 个集合 A 1 , A 2 , ⋯ , A n − 1 {\displaystyle A_{1},A_{2},\cdots ,A_{n}-1} ，有 | ⋂ i = 1 n ( A i ∩ A n ) | = ∑ k = 1 n − 1 ( ( − 1 ) k − 1 ( ∑ 1 ⩽ i 1 n | ⋂ j = 1 k ( A i j ∩ A n ) | ) ) = ∑ k = 1 n − 1 ( ( − 1 ) k − 1 ( ∑ 1 ⩽ i 1 n | ( ⋂ j = 1 k A i j ) ∩ A n | ) ) ， {\displaystyle {\begin{alignedat}{2}\left|\bigcap _{i=1}^{n}\left(A_{i}\cap A_{n}\right)\right|&=\sum _{k=1}^{n-1}\left(\left(-1\right)^{k-1}\left(\sum _{1\leqslant i_{1} , A n − 1 {\displaystyle A_{1},A_{2},\cdots ,A_{n}-1} ，有 | ⋃ i = 1 n − 1 A i | = ∑ k = 1 n − 1 ( ( − 1 ) k − 1 ( ∑ 1 ⩽ i 1 n | ⋂ j = 1 k A i j | ) ) {\displaystyle \left|\bigcup _{i=1}^{n-1}A_{i}\right|=\sum _{k=1}^{n-1}\left(\left(-1\right)^{k-1}\left(\sum _{1\leqslant i_{1} R {\displaystyle a,b\in \mathbb {R} } 且 a b } {\displaystyle [\,a,b\,]=\{x|a\leqslant x\leqslant b\}} ； (2)开区间： ( a , b ) = { x | a x , b ] = { x | x ⩽ b } {\displaystyle (-\infty ,b\,]=\{x|x\leqslant b\}} ； (4.2) ( − ∞ , b ) = { x | x a } {\displaystyle [\,a,+\infty )=\{x|x\geqslant a\}} ； (4.4) ( a , + ∞ ) = { x | x > a } {\displaystyle (a,+\infty )=\{x|x>a\}} ； (4.5) ( + ∞ , − ∞ ) = R {\displaystyle (+\infty ,-\infty )=\mathbb {R} } 。通常，我们将上述四类区间统称为区间。其中(1)-(3)我们称为有限区间， a , b {\displaystyle a,b} 分别称为区间的左端点、右端点。 设 ε {\displaystyle \varepsilon } 为某个正数，则称开区间 ( x 0 − ε , x 0 + ε ) {\displaystyle (x_{0}-\varepsilon ,x_{0}+\varepsilon )} 为点 x 0 {\displaystyle x_{0}} 的 ε {\displaystyle \varepsilon } 邻域；称 x 0 {\displaystyle x_{0}} 为邻域的中心， ε {\displaystyle \varepsilon } 为邻域的半径。 点 x 0 {\displaystyle x_{0}} 的邻域去掉中心 x 0 {\displaystyle x_{0}} 后的集合 ( x 0 − ε , x 0 ) ∪ ( x 0 , x 0 + ε ) {\displaystyle (x_{0}-\varepsilon ,x_{0})\cup (x_{0},x_{0}+\varepsilon )}称为点 x 0 {\displaystyle x_{0}} 的空心邻域或去心邻域；称开区间 ( x 0 − ε , x 0 ) {\displaystyle (x_{0}-\varepsilon ,x_{0})} 为点 x 0 {\displaystyle x_{0}} 的左邻域， ( x 0 , x 0 + ε ) {\displaystyle (x_{0},x_{0}+\varepsilon )} 为点 x 0 {\displaystyle x_{0}} 的右邻域。 点 x 0 {\displaystyle x_{0}} 的邻域可表示为不等式 | x − x 0 | x 0 | ¯ {\displaystyle {\overline {\in }}} 。 ↑ 当描述法式子中未指明数的性质时，默认为实数。 ↑ 有时可以用粗体字母表示特殊数集的符号。 ↑ 由于空集不符合有限集定义，故有时不将它看作有限集。 ↑ 有时也将含有几个相同的元素的集合视为集合，并将几个相同元素视为一个元素。 ↑ 有时也将“ ⊂ , ⊃ {\displaystyle \subset ,\supset } ”写作“ ⫋ , ⫌ {\displaystyle \subsetneqq ,\supsetneqq } ”，多见于我国（指中华人民共和国）中学教材。 ↑ 或 ∁ B A {\displaystyle \complement _{B}A} 。 ↑ 或 A C {\displaystyle A^{C}} 、 ∁ U A {\displaystyle \complement _{U}A} 。 ↑ 有时也记为 c a r d ( A ) {\displaystyle \mathrm {card} (A)} 。 |
表示集合，用小写字母
a
,
b
,
c
⋯
{\displaystyle a,b,c\cdots }
表示集合中的元素。如果
a
{\displaystyle a}
是集合
A
{\displaystyle A}
的元素，我们就称
a
{\displaystyle a}
；反之，则称
a
{\displaystyle a}
[1]。
一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集（通常情况下，也把给定的集合称为全集），通常记作
U
{\displaystyle U}
或
I
{\displaystyle I}
。
”将元素括起来表示集合，元素与元数之间应用“
,
{\displaystyle ,}
”隔开。当元素个数过多时，可在将元素规律表示出来后用“
⋯
{\displaystyle \cdots }
”省略后续元素。
“不大于20的正奇数”，
B
=
{\displaystyle B=}
“大于或等于10的偶数”。
解 这里集合
A
{\displaystyle A}
是一个无穷集合，只能用省略号省去部分元素。
故
描述法[编辑]
为某个与
x
{\displaystyle x}
有关的条件或法则，
X
{\displaystyle X}
为满足
P
(
x
)
{\displaystyle P(x)}
。[2]
为某个与
x
,
y
{\displaystyle x,y}
有关的条件或法则，
A
{\displaystyle A}
构成的集合，则记
A
{\displaystyle A}
。
例1.6.2
；
由整数和分数构成的集合叫作有理数集，记作
Q
{\displaystyle \mathbb {Q} }
；
由自然数和负整数构成的集合叫作整数集，记作
Z
{\displaystyle \mathbb {Z} }
；
由零和正整数构成的集合叫作自然数集，记作
N
{\displaystyle \mathbb {N} }
。有时为了明确自然数集中包括0，我们会将它记作
N
0
{\displaystyle \mathbb {N} _{0}}
；反之，不包含0的自然数集（正整数集）我们记作
N
∗
{\displaystyle \mathbb {N} ^{*}}
；
由除了1和它本身以外不再有其他的因数的整数构成的集合叫作质数集（有时称作素数集），记作
P
{\displaystyle \mathbb {P} }
；
由形如
a
+
b
i
{\displaystyle a+b\mathrm {i} }
的数构成的集合叫作复数集，其中
a
,
b
∈
R
{\displaystyle a,b\in \mathbb {R} }
，
i
{\displaystyle \mathrm {i} }
为虚数单位且
i
2
=
−
1
{\displaystyle \mathrm {i} ^{2}=-1}
，记作
C
{\displaystyle \mathbb {C} }
；
）、八元数集（
O
{\displaystyle \mathbb {O} }
）和十六元数集（
S
{\displaystyle \mathbb {S} }
）等现阶段不要求掌握，虚数集、无理数集（均用
I
{\displaystyle \mathbb {I} }
表示）等有消歧义的一般不使用。
,如果存在一个正整数
n
{\displaystyle n}
，使得集合
A
{\displaystyle A}
一一对应，那么我们称集合A为有限集。同时定义，不含任何元素的集合称作空集，记作
∅
{\displaystyle \varnothing }
。空集是特殊的有限集[4]，且空集是否是点集或数集是任意的。相反地，有限集之外的集合我们叫作无限集。
；
(2)
B
=
{
x
|
x
∈
Z
,
x
2
⩽
0
}
{\displaystyle B=\left\{x|x\in \mathbb {Z} ,x^{2}\leqslant 0\right\}}
；
(3)
C
=
{
x
|
x
∈
N
,
x
y
}
{\displaystyle D=\left\{\left(x,y\right)|x\geqslant y\right\}}
；
的数只有0，且
0
∈
Z
{\displaystyle 0\in \mathbb {Z} }
，故集合
B
=
{
0
}
{\displaystyle B=\left\{0\right\}}
为有限数集；
(3)明显，自然数集内没有小于-3的数，则
C
=
∅
{\displaystyle C=\varnothing }
，为空集；
(4)由于集合满足
x
⩾
y
{\displaystyle x\geqslant y}
的点有无数个，故集合
D
{\displaystyle D}
为一无限点集。
不是一个集合，而
{
1
,
2
}
{\displaystyle \{1,2\}}
才是一个集合[5]。互异性使集合中的元素是没有重复，即使两个相同的对象在同一个集合中，也只能算作这个集合的一个元素。
。
以上就是集合的三个性质。
，如果集合
A
{\displaystyle A}
（或
B
⊇
A
{\displaystyle B\supseteq A}
）
，我们则称这两个集合相等，记作
。
（或
B
⊃
A
{\displaystyle B\supset A}
）
；
3. （集合的传递性）如果集合
A
⊆
B
,
B
⊆
C
{\displaystyle A\subseteq B,B\subseteq C}
，
则
A
⊆
C
{\displaystyle A\subseteq C}
；
更一般地，我们有：
若
A
1
⊆
A
2
,
A
2
⊆
A
3
,
⋯
,
A
n
−
1
⊆
A
n
,
{\displaystyle A_{1}\subseteq A_{2},A_{2}\subseteq A_{3},\cdots ,A_{n-1}\subseteq A_{n},}
则
A
1
⊆
A
n
{\displaystyle A_{1}\subseteq A_{n}}
；
4. 若集合
A
{\displaystyle A}
，真子集有
2
n
−
1
{\displaystyle 2^{n-1}}
个。
集合的相关运算[编辑]
，
。
，
。
例1.6.5
，
解 由题，有
[7]，
。
[8]，
。
，
。
；
(2)同一律：
A
∩
I
=
A
,
A
∪
I
=
I
,
A
∩
∅
=
∅
,
A
∪
∅
=
A
{\displaystyle A\cap I=A,A\cup I=I,A\cap \varnothing =\varnothing ,A\cup \varnothing =A}
；
(3)互补律：
A
∩
A
¯
=
∅
,
A
∪
A
¯
=
I
,
A
¯
¯
=
A
,
I
¯
=
∅
,
∅
¯
=
I
{\displaystyle A\cap {\overline {A}}=\varnothing ,A\cup {\overline {A}}=I,{\overline {\overline {A}}}=A,{\overline {I}}=\varnothing ,{\overline {\varnothing }}=I}
；
(4)交换律：
A
∩
B
=
B
∩
A
,
A
∪
B
=
B
∪
A
{\displaystyle A\cap B=B\cap A,A\cup B=B\cup A}
；
(5)结合律：
A
∩
(
B
∩
C
)
=
(
A
∩
B
)
∩
C
,
A
∪
(
B
∪
C
)
=
(
A
∪
B
)
∪
C
{\displaystyle A\cap (B\cap C)=(A\cap B)\cap C,A\cup (B\cup C)=(A\cup B)\cup C}
；
(6)分配率：
A
∩
(
⋃
i
A
i
)
=
⋃
i
(
A
∩
A
i
)
,
A
∪
(
⋂
i
A
i
)
=
⋂
i
(
A
∩
A
i
)
{\displaystyle A\cap \left(\bigcup _{i}A_{i}\right)=\bigcup _{i}\left(A\cap A_{i}\right),A\cup \left(\bigcap _{i}A_{i}\right)=\bigcap _{i}\left(A\cap A_{i}\right)}
；
(7)吸收率：
A
∪
(
A
∩
B
)
=
A
,
A
∩
(
A
∪
B
)
=
A
{\displaystyle A\cup (A\cap B)=A,A\cap (A\cup B)=A}
；
(8)反演律：
⋂
i
A
i
¯
=
⋂
i
A
i
¯
,
⋃
i
A
i
¯
=
⋃
i
A
i
¯
{\displaystyle {\overline {\bigcap _{i}A_{i}}}=\bigcap _{i}{\overline {A_{i}}},{\overline {\bigcup _{i}A_{i}}}=\bigcup _{i}{\overline {A_{i}}}}
。
[9]，则由Venn图（下图）可知：
；
2.
|
A
∪
B
∪
C
|
=
|
A
|
+
|
B
|
+
|
C
|
−
|
A
∩
B
|
−
|
A
∩
C
|
−
|
B
∩
C
|
+
|
A
∩
B
∩
C
|
{\displaystyle |A\cup B\cup C|=|A|+|B|+|C|-|A\cap B|-|A\cap C|-|B\cap C|+|A\cap B\cap C|}
。
，则有
，由
n
=
2
{\displaystyle n=2}
的情形可知：
|
⋃
i
=
1
n
A
i
|
=
|
⋃
i
=
1
n
−
1
A
i
|
+
|
A
n
|
−
|
(
⋃
i
=
1
n
−
1
A
i
)
∩
A
n
|
=
|
⋃
i
=
1
n
−
1
A
i
|
+
|
A
n
|
−
|
⋃
i
=
1
n
−
1
(
A
i
∩
A
n
)
|
，
{\displaystyle {\begin{alignedat}{2}\left|\bigcup _{i=1}^{n}A_{i}\right|&=\left|\bigcup _{i=1}^{n-1}A_{i}\right|+\left|A_{n}\right|-\left|\left(\bigcup _{i=1}^{n-1}A_{i}\right)\cap A_{n}\right|\\&=\left|\bigcup _{i=1}^{n-1}A_{i}\right|+\left|A_{n}\right|-\left|\bigcup _{i=1}^{n-1}\left(A_{i}\cap A_{n}\right)\right|{\mbox{， }}\end{alignedat}}}
个集合
A
1
,
A
2
,
⋯
,
A
n
−
1
{\displaystyle A_{1},A_{2},\cdots ,A_{n}-1}
，有
![{\displaystyle [\,a,b\,]=\{x|a\leqslant x\leqslant b\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a72fa4ff21f1545eaa4f1e8788b3baf2da043c8b)
；
(2)开区间：
(
a
,
b
)
=
{
x
|
a
x
,
b
]
=
{
x
|
x
⩽
b
}
{\displaystyle (-\infty ,b\,]=\{x|x\leqslant b\}}
![{\displaystyle (-\infty ,b\,]=\{x|x\leqslant b\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0947e255ae35cd229399b55ec7aff82334a87ac0)
；
(4.2)
(
−
∞
,
b
)
=
{
x
|
x
a
}
{\displaystyle [\,a,+\infty )=\{x|x\geqslant a\}}
；
(4.4)
(
a
,
+
∞
)
=
{
x
|
x
>
a
}
{\displaystyle (a,+\infty )=\{x|x>a\}}
；
(4.5)
(
+
∞
,
−
∞
)
=
R
{\displaystyle (+\infty ,-\infty )=\mathbb {R} }
。
分别称为区间的左端点、右端点。
设
ε
{\displaystyle \varepsilon }
为某个正数，则称开区间
(
x
0
−
ε
,
x
0
+
ε
)
{\displaystyle (x_{0}-\varepsilon ,x_{0}+\varepsilon )}
为点
x
0
{\displaystyle x_{0}}
的
ε
{\displaystyle \varepsilon }
为点
x
0
{\displaystyle x_{0}}
为点
x
0
{\displaystyle x_{0}}
。
↑ 当描述法式子中未指明数的性质时，默认为实数。
↑ 有时可以用粗体字母表示特殊数集的符号。
↑ 由于空集不符合有限集定义，故有时不将它看作有限集。
↑ 有时也将含有几个相同的元素的集合视为集合，并将几个相同元素视为一个元素。
↑ 有时也将“
⊂
,
⊃
{\displaystyle \subset ,\supset }
”写作“
⫋
,
⫌
{\displaystyle \subsetneqq ,\supsetneqq }
”，多见于我国（指中华人民共和国）中学教材。
↑ 或
∁
B
A
{\displaystyle \complement _{B}A}
。
↑ 或
A
C
{\displaystyle A^{C}}
、
∁
U
A
{\displaystyle \complement _{U}A}
。
↑ 有时也记为
c
a
r
d
(
A
)
{\displaystyle \mathrm {card} (A)}
。
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