【集合论】集合运算 ( 并集

并集 : A , B A, B A,B 是两个集合 , 由 A A A 和 B B B 所有的元素组成的集合 , 称为 A A A 与 B B B 的并集 ;

记做 : A ∪ B A \cup B A∪B , ∪ \cup ∪ 称为 并运算符 ;

符号化表示 : A ∪ B = { x ∣ x ∈ A ∨ x ∈ B } A \cup B = \{ x | x \in A \lor x \in B \} A∪B={x∣x∈A∨x∈B}

初级并 : 两个集合的并运算 , 可以推广到 有限个 / 可数个 集合的并运算 , 称为 初级并 ;

A 1 , A 2 , ⋯   , A n A_1 , A_2 , \cdots , A_n A1​,A2​,⋯,An​ 是 n n n 个集合 , 则 A 1 ∪ A 2 ∪ ⋯ ∪ A n = { x ∣ ∃ i ( 1 ≤ i ≤ n   ∨   x ∈ A i ) } A_1 \cup A_2 \cup \cdots \cup A_n = \{ x | \exist i ( 1 \leq i \leq n \ \lor \ x \in A_i ) \} A1​∪A2​∪⋯∪An​={x∣∃i(1≤i≤n ∨ x∈Ai​)} , 记作

⋃ i = 1 n A i = A 1 ∪ A 2 ∪ ⋯ ∪ A n \bigcup_{i=1}^{n} A_i = A_1 \cup A_2 \cup \cdots \cup A_n i=1⋃n​Ai​=A1​∪A2​∪⋯∪An​

A 1 , A 2 , ⋯   , A n , ⋯ A_1 , A_2 , \cdots , A_n , \cdots A1​,A2​,⋯,An​,⋯ 是 可数个 个集合 , 则 初级并形式记作 :

⋃ i = 1 ∞ A i = A 1 ∪ A 2 ∪ ⋯ \bigcup_{i=1}^{\infty} A_i = A_1 \cup A_2 \cup \cdots i=1⋃∞​Ai​=A1​∪A2​∪⋯

集合 A = { x ∈ N ∣ 5 ≤ x ≤ 10 } A = \{ x \in N | 5 \leq x \leq 10 \} A={x∈N∣5≤x≤10} , 集合 B = { x ∈ N ∣ x ≤ 10 ∨ x 是 素 数 } B = \{ x \in N | x \leq 10 \lor x 是素数 \} B={x∈N∣x≤10∨x是素数}

A ∪ B = { 2 , 3 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 , 10 } A \cup B = \{ 2, 3, 5 ,6,7,8,9,10 \} A∪B={2,3,5,6,7,8,9,10}

交集 : A , B A, B A,B 是两个集合 , A A A 和 B B B 公共元素组成的集合 , 称为 A , B A , B A,B 集合的交集 ;

记作 : A ∩ B A \cap B A∩B , ∩ \cap ∩ 称为 交运算符 ;

符号化表示 : A ∩ B = { x ∣ x ∈ A ∧ x ∈ B } A \cap B = \{ x | x \in A \land x \in B \} A∩B={x∣x∈A∧x∈B}

初级交 : 两个集合的交运算 , 可以推广到 有限个 / 可数个 集合的并运算 , 称为 初级交 ;

A 1 , A 2 , ⋯   , A n A_1 , A_2 , \cdots , A_n A1​,A2​,⋯,An​ 是 n n n 个集合 , 则 A 1 ∩ A 2 ∩ ⋯ ∩ A n = { x ∣ ∀ i ( 1 ≤ i ≤ n   →   x ∈ A i ) } A_1 \cap A_2 \cap \cdots \cap A_n = \{ x | \forall i ( 1 \leq i \leq n \ \to \ x \in A_i ) \} A1​∩A2​∩⋯∩An​={x∣∀i(1≤i≤n → x∈Ai​)} , 记作

⋂ i = 1 n A i = A 1 ∩ A 2 ∩ ⋯ ∩ A n \bigcap_{i=1}^{n} A_i = A_1 \cap A_2 \cap \cdots \cap A_n i=1⋂n​Ai​=A1​∩A2​∩⋯∩An​

A 1 , A 2 , ⋯   , A n , ⋯ A_1 , A_2 , \cdots , A_n , \cdots A1​,A2​,⋯,An​,⋯ 是 可数个 个集合 , 则 初级并形式记作 :

⋂ i = 1 ∞ A i = A 1 ∩ A 2 ∩ ⋯ \bigcap_{i=1}^{\infty} A_i = A_1 \cap A_2 \cap \cdots i=1⋂∞​Ai​=A1​∩A2​∩⋯

集合 A = { x ∈ N ∣ 5 ≤ x ≤ 10 } A = \{ x \in N | 5 \leq x \leq 10 \} A={x∈N∣5≤x≤10} , 集合 B = { x ∈ N ∣ x ≤ 10 ∧ x 是 素 数 } B = \{ x \in N | x \leq 10 \land x 是素数 \} B={x∈N∣x≤10∧x是素数}

A ∩ B = { 5 , 7 } A \cap B = \{ 5, 7 \} A∩B={5,7}

不相交 : A , B A , B A,B 两个集合 , 如果 A ∩ B = ∅ A \cap B = \varnothing A∩B=∅ , 则称 A A A 和 B B B 两个集合是 不相交 的 ;

扩展到多个集合 : A 1 , A 2 , ⋯ A_1 , A_2 , \cdots A1​,A2​,⋯ 是可数个集合 , 任意 i ≠ j i \not= j i​=j , A i ∩ A j = ∅ A_i \cap A_j = \varnothing Ai​∩Aj​=∅ 都成立 , 则称 A 1 , A 2 , ⋯ A_1 , A_2 , \cdots A1​,A2​,⋯ 是互不相交的 ;

相对补集 : A , B A , B A,B 两个集合 , 属于 A A A 集合 而 不属于 B B B 集合 的 全体元素组成的集合 , 称为 B B B 对 A A A 的相对补集 ;

记作 : A − B A - B A−B

符号化表示 : A − B = { x ∣ x ∈ A ∧ x ∉ B } A-B = \{ x | x \in A \land x \not\in B \} A−B={x∣x∈A∧x​∈B}

对称差 : A , B A , B A,B 是两个集合 , 属于 A A A 集合 而 不属于 B B B 集合 , 属于 B B B 集合 而 不属于 A A A 集合 , 的 全体元素 , 组成的集合称为 A A A 与 B B B 的对称差 ;

记作 : A ⊕ B A \oplus B A⊕B

符号化表示 : A ⊕ B = { x ∣ ( x ∈ A ∧ x ∉ B ) ∨ ( x ∉ A ∧ x ∈ B ) } A \oplus B = \{ x | ( x \in A \land x \not\in B ) \lor ( x \not\in A \land x \in B ) \} A⊕B={x∣(x∈A∧x​∈B)∨(x​∈A∧x∈B)}

对称差 与 相对补集 关系 : A ⊕ B = ( A − B ) ∪ ( B − A ) = ( A ∪ B ) − ( A ∩ B ) A \oplus B = ( A - B ) \cup ( B - A ) = ( A \cup B ) - ( A \cap B ) A⊕B=(A−B)∪(B−A)=(A∪B)−(A∩B)

( A − B ) ∪ ( B − A ) ( A - B ) \cup ( B - A ) (A−B)∪(B−A) : A A A 对 B B B 的相对补集 , 与 B B B 对 A A A 的相对补集 的 并集 ;

( A ∪ B ) − ( A ∩ B ) ( A \cup B ) - ( A \cap B ) (A∪B)−(A∩B) : A , B A, B A,B 的并集 对 A , B A,B A,B 交集的相对补集 ;

绝对补集 : E E E 是全集 , A ⊆ E A \subseteq E A⊆E , 全集 E E E 包含 A A A 集合 , 称 A A A 对 E E E 的相对补集 为 A A A 的绝对补集 ;

记作 : ∼ A \sim A ∼A

符号化表示 : ∼ A = { x ∣ x ∈ E ∧ x ∉ A } \sim A = \{ x | x \in E \land x \not\in A \} ∼A={x∣x∈E∧x​∈A}

其中 E E E 是全集 , x ∈ E x \in E x∈E 为永真式 , 根据 命题逻辑 等值演算 的 同一律 , 1 1 1 合取 任何值 , 真值还是 任何值 本身 ;

因此 , 可以 去掉 合取联结词 前面的 x ∈ E x \in E x∈E , 结果为 :

∼ A = { x ∣ x ∉ A } \sim A = \{ x | x \not\in A \} ∼A={x∣x​∈A}

广义并集 : A \mathscr{A} A 是一个 集族 , 集族 A \mathscr{A} A 中的全体 集合元素 的 元素组成的集合 , 称为 集族 A \mathscr{A} A 的广义并 ;

记作 : ∪ A \cup \mathscr{A} ∪A

符号化表示 : ∪ A = { x ∣ ∃ z ( x ∈ z ∧ z ∈ A ) } \cup \mathscr{A} = \{ x | \exist z ( x \in z \land z \in \mathscr{A} ) \} ∪A={x∣∃z(x∈z∧z∈A)}

广义并集示例 :

A = { { a , b } , { a , c } , { a , b , c } } \mathscr{A} = \{ \{a, b\} , \{a, c\} , \{a, b, c\} \} A={{a,b},{a,c},{a,b,c}}

∪ A = { a , b , c } \cup \mathscr{A} = \{ a, b, c \} ∪A={a,b,c}

广义交集 : A \mathscr{A} A 是一个 集族 , 集族 A \mathscr{A} A 中的全体 集合元素 的 公共元素组成的集合 , 称为 集族 A \mathscr{A} A 的广义交 ;

记作 : ∩ A \cap \mathscr{A} ∩A

符号化表示 : ∩ A = { x ∣ ∀ z ( z ∈ A → x ∈ z ) } \cap \mathscr{A} = \{ x | \forall z ( z \in \mathscr{A} \to x \in z ) \} ∩A={x∣∀z(z∈A→x∈z)}

广义并集示例 :

A = { { a , b } , { a , c } , { a , b , c } } \mathscr{A} = \{ \{a, b\} , \{a, c\} , \{a, b, c\} \} A={{a,b},{a,c},{a,b,c}}

∩ A = { a } \cap \mathscr{A} = \{ a \} ∩A={a}

第一类运算 ( 单目运算符 ) : 绝对补 , 幂集 , 广义交 , 广义并 ; 运算按照从左到右顺序运算 ;

第二类运算 ( 双目运算符 ) : 初级并 , 初级交 , 相对补 , 对称差 ; 按照括号结合顺序进行运算 , 没有括号按照从左右到顺序进行运算 ;