Jacobian and Hessian（雅克比矩阵和海塞矩阵）

雅可比矩阵 是一阶偏导数以一定方式排列成的矩阵, 其行列式称为雅可比行列式。

假设 F : R n → R m F: R_n \to R_m F:Rn​→Rm​ 是一个从欧式 n 维空间转换到欧式 m 维空间的函数. 这个函数由 m 个实函数组成:，记作

这些函数的偏导数(如果存在)可以组成一个 m 行 n 列的矩阵, 这就是所谓的雅可比矩阵：

[ ∂ y 1 ∂ x 1 ⋯ ∂ y 1 ∂ x n ⋮ ⋱ ⋮ ∂ y m ∂ x 1 ⋯ ∂ y m ∂ x n ] \begin{bmatrix} \frac{\partial y_1}{\partial x_1} & \cdots & \frac{\partial y_1}{\partial x_n} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ \frac{\partial y_m}{\partial x_1} & \cdots & \frac{\partial y_m}{\partial x_n} \end{bmatrix} ⎣⎢⎡​∂x1​∂y1​​⋮∂x1​∂ym​​​⋯⋱⋯​∂xn​∂y1​​⋮∂xn​∂ym​​​⎦⎥⎤​

该矩阵记作 J F ( x 1 , . . . . , x n ) J_F(x_1,....,x_n) JF​(x1​,....,xn​)，每一行（一行 n 个数），表示该实数关于 x 的偏导数的集合。

由于矩阵描述了向量空间中的运动——变换，而雅可比矩阵可以看作是将点 x 1 , . . . . , x n x_1,....,x_n x1​,....,xn​ 转化到点 y 1 , . . . . , y n y_1,....,y_n y1​,..